Номер 18.28, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.28, страница 182.

Условие.

18.28. Найдите наибольшее значение выражения $ \frac{x}{4x^2 + 3x + 1} $

Решение.

Для нахождения наибольшего значения выражения рассмотрим функцию $f(x) = \frac{x}{4x^2 + 3x + 1}$. Задача состоит в том, чтобы найти максимальное значение этой функции, то есть найти область ее значений.

Пусть $y$ – это значение данного выражения:

$y = \frac{x}{4x^2 + 3x + 1}$

Мы будем искать все возможные значения $y$, которые может принимать это выражение при действительных значениях $x$. Для этого преобразуем уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$.

Сначала убедимся, что знаменатель $4x^2 + 3x + 1$ не обращается в ноль. Найдем его дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 9 - 16 = -7$. Так как дискриминант отрицательный, а старший коэффициент ($4$) положителен, знаменатель всегда положителен при любых действительных $x$. Следовательно, выражение определено для всех $x \in \mathbb{R}$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель:

$y(4x^2 + 3x + 1) = x$

Раскроем скобки и перенесем все члены в левую часть:

$4yx^2 + 3yx + y - x = 0$

Сгруппируем члены при одинаковых степенях $x$, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ относительно переменной $x$:

$4yx^2 + (3y - 1)x + y = 0$

Мы получили уравнение относительно $x$, где коэффициенты зависят от $y$. Рассмотрим два случая.

1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $4y = 0 \Rightarrow y = 0$. В этом случае уравнение становится линейным: $(3 \cdot 0 - 1)x + 0 = 0$, то есть $-x = 0$, откуда $x = 0$. Это означает, что значение $y=0$ является возможным и достигается при $x=0$.

2. Если $y \neq 0$, то уравнение является квадратным относительно $x$. Для того чтобы это уравнение имело хотя бы одно действительное решение для $x$, его дискриминант $D_x$ должен быть неотрицательным ($D_x \ge 0$).

Вычислим дискриминант этого квадратного уравнения, где коэффициенты $a = 4y$, $b = 3y - 1$, $c = y$:

$D_x = (3y - 1)^2 - 4(4y)(y) = (9y^2 - 6y + 1) - 16y^2 = -7y^2 - 6y + 1$

Условие существования действительных корней $x$ – это $D_x \ge 0$:

$-7y^2 - 6y + 1 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, умножим обе его части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$7y^2 + 6y - 1 \le 0$

Теперь найдем корни квадратного трехчлена $7y^2 + 6y - 1 = 0$ с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Дискриминант $D_y = 6^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 - 8}{14} = \frac{-14}{14} = -1$

$y_2 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{-6 + 8}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}$

Так как ветви параболы $f(y) = 7y^2 + 6y - 1$ направлены вверх, неравенство $7y^2 + 6y - 1 \le 0$ выполняется для значений $y$, находящихся между корнями, включая сами корни:

$-1 \le y \le \frac{1}{7}$

Это означает, что множество всех возможных значений, которые может принимать данное выражение, – это отрезок $[-1; \frac{1}{7}]$.

Наибольшее значение выражения равно правому концу этого отрезка.

Ответ: $\frac{1}{7}$