Номер 18.29, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.29, страница 182.

Условие.

18.29. Известно, что $a_1 > 0$, $a_2 > 0$, ..., $a_n > 0$, $a_1 a_2 \dots a_n = 1$. Докажите неравенство

$(1 + a_1)(1 + a_2) \dots (1 + a_n) \ge 2^n$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши) для двух положительных чисел $x$ и $y$, которое утверждает, что их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического:

$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$

Применим это неравенство к каждой скобке $(1 + a_i)$ в левой части доказываемого неравенства. Для каждого $i$ от $1$ до $n$, мы можем рассмотреть два положительных числа: $1$ и $a_i$ (по условию $a_i > 0$).

Для любого $i \in \{1, 2, ..., n\}$ получаем:

$\frac{1 + a_i}{2} \geq \sqrt{1 \cdot a_i}$

Умножив обе части на 2, получим:

$1 + a_i \geq 2\sqrt{a_i}$

Запишем это неравенство для каждого сомножителя в исходном выражении:

$1 + a_1 \geq 2\sqrt{a_1}$
$1 + a_2 \geq 2\sqrt{a_2}$
...
$1 + a_n \geq 2\sqrt{a_n}$

Поскольку все части этих $n$ неравенств являются положительными числами, мы можем перемножить их все, при этом знак неравенства сохранится:

$(1 + a_1)(1 + a_2)...(1 + a_n) \geq (2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})...(2\sqrt{a_n})$

Упростим правую часть полученного неравенства:

$(2\sqrt{a_1})(2\sqrt{a_2})...(2\sqrt{a_n}) = 2^n \cdot (\sqrt{a_1}\sqrt{a_2}...\sqrt{a_n}) = 2^n \sqrt{a_1 a_2 ... a_n}$

Таким образом, мы получили неравенство:

$(1 + a_1)(1 + a_2)...(1 + a_n) \geq 2^n \sqrt{a_1 a_2 ... a_n}$

Теперь воспользуемся условием задачи: $a_1 a_2 ... a_n = 1$. Подставим это значение в правую часть нашего неравенства:

$(1 + a_1)(1 + a_2)...(1 + a_n) \geq 2^n \sqrt{1}$

$(1 + a_1)(1 + a_2)...(1 + a_n) \geq 2^n$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.