Номер 18.23, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.23, страница 181.

Условие.

18.23. Найдите наибольшее значение выражения $xy$, если $x > 0, y > 0$ и $x + 3y = 6$.

Решение.

Для нахождения наибольшего значения выражения $xy$ при заданных условиях, воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения $x + 3y = 6$ выразим переменную $x$ через $y$:
$x = 6 - 3y$

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в выражение $xy$, значение которого мы хотим максимизировать. Обозначим это выражение как функцию $f(y)$:
$f(y) = (6 - 3y)y = 6y - 3y^2$

Мы получили квадратичную функцию $f(y) = -3y^2 + 6y$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $y^2$ равен -3, что меньше нуля). Следовательно, своего наибольшего значения функция достигает в вершине параболы.

Координата $y$ вершины параболы вида $ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_0 = -\frac{b}{2a}$.
Для нашей функции $a = -3$ и $b = 6$. Найдем координату $y_0$ вершины:

$y_0 = -\frac{6}{2 \cdot (-3)} = -\frac{6}{-6} = 1$

Проверим, удовлетворяют ли полученные значения условиям задачи $x > 0$ и $y > 0$.
Мы нашли, что максимальное значение достигается при $y = 1$. Это удовлетворяет условию $y > 0$.
Теперь найдем соответствующее значение $x$:
$x = 6 - 3y = 6 - 3 \cdot 1 = 3$
Это значение удовлетворяет условию $x > 0$.

Так как найденные значения $x=3$ и $y=1$ удовлетворяют всем условиям, мы можем вычислить наибольшее значение выражения $xy$:
$xy = 3 \cdot 1 = 3$

Ответ: 3