Номер 18.19, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.19, страница 181.

Условие.

18.19. Переменные $x$ и $y$ принимают положительные значения, и их произведение постоянно. Докажите, что их сумма будет наименьшей тогда и только тогда, когда эти числа равны.

Решение.

Пусть $x$ и $y$ — положительные переменные, для которых $x > 0$ и $y > 0$. Их произведение постоянно, обозначим его $xy = C$, где $C$ — некоторая положительная константа. Нам необходимо доказать, что их сумма $S = x+y$ принимает наименьшее значение тогда и только тогда, когда $x=y$.

Для доказательства воспользуемся известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом для двух положительных чисел, которое гласит:

$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{xy}$

Равенство в этом неравенстве достигается тогда и только тогда, когда $x=y$.

Подставим в неравенство наши обозначения $S = x+y$ и $C = xy$:

$\frac{S}{2} \ge \sqrt{C}$

Умножим обе части неравенства на 2:

$S \ge 2\sqrt{C}$

Это неравенство показывает, что сумма $S$ всегда не меньше, чем $2\sqrt{C}$. Следовательно, наименьшее возможное значение суммы равно $2\sqrt{C}$.

Это минимальное значение достигается, когда неравенство о средних обращается в равенство, а это происходит, как было упомянуто, тогда и только тогда, когда $x=y$.

Таким образом, мы доказали, что сумма положительных переменных с постоянным произведением будет наименьшей тогда и только тогда, когда эти переменные равны.

Альтернативное доказательство (алгебраическое):

Рассмотрим квадрат разности $(x-y)^2$. Так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным, мы можем записать:

$(x-y)^2 \ge 0$

Равенство достигается тогда и только тогда, когда $x-y=0$, то есть $x=y$.

Раскроем скобки в неравенстве:

$x^2 - 2xy + y^2 \ge 0$

Прибавим к обеим частям неравенства $4xy$ (поскольку $x>0, y>0$, то $4xy>0$):

$x^2 - 2xy + y^2 + 4xy \ge 4xy$

$x^2 + 2xy + y^2 \ge 4xy$

Левая часть этого неравенства представляет собой квадрат суммы $(x+y)^2$. Подставим $S = x+y$ и $C=xy$:

$S^2 \ge 4C$

Поскольку $x$ и $y$ положительны, их сумма $S$ также положительна. Мы можем извлечь квадратный корень из обеих частей, сохранив знак неравенства:

$S \ge 2\sqrt{C}$

Минимальное значение суммы $S$ равно $2\sqrt{C}$. Это значение достигается, когда исходное неравенство $(x-y)^2 \ge 0$ становится равенством, то есть при $x=y$.

Ответ: Утверждение доказано.