Номер 18.32, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.32, страница 182.

Условие.

18.32. Для положительных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $\frac{a^2+1}{b} + \frac{b^2+1}{a} \ge 4.$

Решение.

По условию, числа $a$ и $b$ являются положительными, то есть $a > 0$ и $b > 0$. Для доказательства неравенства воспользуемся известным неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любого положительного числа $x$ справедливо, что $x + \frac{1}{x} \ge 2$. В более общем виде, для любого действительного $x$ верно $x^2 + 1 \ge 2x$, так как это эквивалентно $(x-1)^2 \ge 0$.

Применим неравенство $x^2+1 \ge 2x$ для $x=a$ и $x=b$: $$ a^2 + 1 \ge 2a $$ $$ b^2 + 1 \ge 2b $$

Поскольку $b$ — положительное число, мы можем разделить обе части первого неравенства на $b$, не меняя знака неравенства: $$ \frac{a^2 + 1}{b} \ge \frac{2a}{b} $$

Аналогично, так как $a > 0$, разделим обе части второго неравенства на $a$: $$ \frac{b^2 + 1}{a} \ge \frac{2b}{a} $$

Теперь сложим два полученных неравенства: $$ \frac{a^2 + 1}{b} + \frac{b^2 + 1}{a} \ge \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} $$

Рассмотрим правую часть этого неравенства. Вынесем множитель 2 за скобки: $$ \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} = 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) $$

Выражение в скобках представляет собой сумму двух взаимно обратных положительных чисел. По неравенству Коши, их сумма не меньше 2: $$ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a}} = 2\sqrt{1} = 2 $$

Умножив обе части этого неравенства на 2, получим: $$ 2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \right) \ge 4 $$

Объединяя результаты, мы получаем цепочку неравенств: $$ \frac{a^2 + 1}{b} + \frac{b^2 + 1}{a} \ge \frac{2a}{b} + \frac{2b}{a} \ge 4 $$

Отсюда следует, что исходное неравенство верно: $$ \frac{a^2 + 1}{b} + \frac{b^2 + 1}{a} \ge 4 $$ Равенство достигается в том случае, когда все промежуточные неравенства обращаются в равенства. Неравенство $x^2+1 \ge 2x$ становится равенством при $x=1$. Неравенство $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2$ становится равенством при $\frac{a}{b} = 1$, то есть $a=b$. Следовательно, для достижения равенства в исходном неравенстве необходимо выполнение условий $a=1$ и $b=1$.

Ответ: Неравенство доказано.