Номер 18.7, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - номер 18.7, страница 181.

Условие.

18.7. Докажите, что если $x \ge 0, y \ge 0$, то $(x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши). Для любых двух неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо неравенство $a+b \ge 2\sqrt{ab}$.

По условию $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Применим неравенство Коши к каждому множителю в левой части доказываемого неравенства.

Для первого множителя $(x+1)$, применяя неравенство Коши к числам $x$ и $1$ (оба неотрицательны), получаем:
$x+1 \ge 2\sqrt{x \cdot 1} = 2\sqrt{x}$

Для второго множителя $(y+1)$, применяя неравенство Коши к числам $y$ и $1$ (оба неотрицательны), получаем:
$y+1 \ge 2\sqrt{y \cdot 1} = 2\sqrt{y}$

Для третьего множителя $(xy+1)$, поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то их произведение $xy \ge 0$. Применяя неравенство Коши к числам $xy$ и $1$, получаем:
$xy+1 \ge 2\sqrt{xy \cdot 1} = 2\sqrt{xy}$

Так как все части полученных неравенств неотрицательны, мы можем их перемножить. Знак неравенства при этом не изменится:
$(x+1)(y+1)(xy+1) \ge (2\sqrt{x})(2\sqrt{y})(2\sqrt{xy})$

Упростим выражение в правой части:
$(2\sqrt{x})(2\sqrt{y})(2\sqrt{xy}) = 8 \cdot \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \cdot \sqrt{xy} = 8\sqrt{x \cdot y \cdot xy} = 8\sqrt{x^2y^2}$

Поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то $\sqrt{x^2y^2} = \sqrt{(xy)^2} = |xy| = xy$.

Таким образом, мы доказали, что:
$(x+1)(y+1)(xy+1) \ge 8xy$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.