Вопросы?, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 18. Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши - Буняковского. Упражнения - страница 180.

Условие.

1. Значения каких выражений называют средним квадратичным, средним арифметическим, средним геометрическим, средним гармоническим двух положительных чисел $a$ и $b$?

2. Какие неравенства выражают связь между средними величинами?

3. Запишите неравенство Коши — Буняковского для наборов чисел $(a_1; a_2; \dots; a_n)$ и $(b_1; b_2; \dots; b_n)$.

4. При каких условиях в неравенстве Коши — Буняковского достигается равенство?

Решение.

1. Для двух положительных чисел $a$ и $b$ определены следующие средние величины:
Среднее квадратичное: $ \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}} $
Среднее арифметическое: $ \frac{a + b}{2} $
Среднее геометрическое: $ \sqrt{ab} $
Среднее гармоническое: $ \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} $

Ответ:

2. Связь между средними величинами для двух положительных чисел $a$ и $b$ выражается следующей цепочкой неравенств (неравенство о средних):

$ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} $

Это означает, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, которое не больше среднего арифметического, а то, в свою очередь, не больше среднего квадратичного. Равенство во всех неравенствах достигается тогда и только тогда, когда $a=b$.

Ответ:

3. Неравенство Коши — Буняковского для двух наборов действительных чисел $(a_1; a_2; \dots; a_n)$ и $(b_1; b_2; \dots; b_n)$ имеет вид:

$ (a_1b_1 + a_2b_2 + \dots + a_nb_n)^2 \le (a_1^2 + a_2^2 + \dots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \dots + b_n^2) $

Используя знак суммирования, его можно записать более компактно:

$ \left(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right) $

Ответ:

4. Равенство в неравенстве Коши — Буняковского достигается тогда и только тогда, когда наборы чисел $(a_1; a_2; \dots; a_n)$ и $(b_1; b_2; \dots; b_n)$ пропорциональны.

Это означает, что существует такое действительное число $k$, что $a_i = kb_i$ для всех $i = 1, 2, \dots, n$. Данное условие также охватывает случай, когда один из наборов (или оба) состоит из нулей.

Ответ: