Номер 17.63, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

17.63. Докажите неравенство

$ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2} $, где $n \in \mathbf{N}$.

Обозначим левую часть неравенства через $S_n$:

$S_n = \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{2n-1}+\sqrt{2n}} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}$

Рассмотрим общий член суммы $a_k = \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}$. Мы докажем, что каждый такой член больше некоторого выражения, сумма которых легко вычисляется и приводит к нужной оценке.

Для любого натурального $k$ справедливо неравенство $2k+1 > 2k$. Так как функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{2k+1} > \sqrt{2k}$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства $\sqrt{2k-1}$:

$\sqrt{2k-1} + \sqrt{2k+1} > \sqrt{2k-1} + \sqrt{2k}$

Так как обе части неравенства положительны, мы можем взять от них обратные величины, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}} < \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}$

Преобразуем левую часть, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}$:

$\frac{1}{\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1}} = \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{(\sqrt{2k+1}+\sqrt{2k-1})(\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})} = \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{(2k+1)-(2k-1)} = \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$

Таким образом, мы доказали, что для любого $k \in \mathbb{N}$ выполняется неравенство:

$\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}} > \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$

Теперь просуммируем это неравенство для всех $k$ от $1$ до $n$:

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}} > \sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2}$

Вычислим сумму в правой части. Это так называемая телескопическая сумма:

$\sum_{k=1}^{n} \frac{\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1}}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{2k+1}-\sqrt{2k-1})$

Расшифруем сумму:

$\frac{1}{2} [(\sqrt{3}-\sqrt{1}) + (\sqrt{5}-\sqrt{3}) + (\sqrt{7}-\sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1})]$

В этой сумме все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются. Остаются только первое и последнее слагаемые:

$\frac{1}{2} (-\sqrt{1} + \sqrt{2n+1}) = \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$

Итак, мы получили, что:

$S_n > \frac{\sqrt{2n+1}-1}{2}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.