Номер 17.56, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.56, страница 171.

Условие.

17.56. Докажите, что если $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$, то $(x+y+1)^2 \ge 4(x^2+y^2)$.

Решение.

Для доказательства преобразуем исходное неравенство. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить равносильное неравенство:

$(x + y + 1)^2 - 4(x^2 + y^2) \ge 0$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$(x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y) - 4x^2 - 4y^2 \ge 0$

$-3x^2 - 3y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1 \ge 0$

Обозначим левую часть этого неравенства как функцию $f(x, y) = -3x^2 - 3y^2 + 2xy + 2x + 2y + 1$. Нам необходимо доказать, что $f(x, y) \ge 0$ для всех $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$.

Зафиксируем произвольное значение $y$ из отрезка $[0; 1]$ и рассмотрим $f(x, y)$ как функцию одной переменной $x$. Обозначим её $g_y(x)$:

$g_y(x) = -3x^2 + (2y + 2)x + (-3y^2 + 2y + 1)$

Функция $g_y(x)$ является квадратичной функцией от $x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-3$, что меньше нуля, следовательно, график этой функции — парабола, ветви которой направлены вниз. Наименьшее значение такой функции на отрезке $[0; 1]$ достигается на одном из его концов, то есть при $x=0$ или при $x=1$.

Чтобы доказать, что $g_y(x) \ge 0$ для всех $x \in [0; 1]$, достаточно проверить, что значения функции неотрицательны в точках $x=0$ и $x=1$.

1. Значение в точке $x=0$:

$g_y(0) = -3y^2 + 2y + 1$.

Это квадратичная функция от $y$. Найдём её корни, решив уравнение $-3y^2 + 2y + 1 = 0$. Дискриминант $D = 2^2 - 4(-3)(1) = 16$. Корни уравнения: $y_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(-3)} = 1$ и $y_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(-3)} = -\frac{1}{3}$. Так как ветви параболы $h(y) = -3y^2 + 2y + 1$ направлены вниз, она принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, то есть при $y \in [-\frac{1}{3}; 1]$. По условию $y \in [0; 1]$, что является частью этого отрезка. Следовательно, $g_y(0) \ge 0$ для всех $y \in [0; 1]$.

2. Значение в точке $x=1$:

$g_y(1) = -3(1)^2 + (2y + 2)(1) + (-3y^2 + 2y + 1) = -3 + 2y + 2 - 3y^2 + 2y + 1 = -3y^2 + 4y$.

Это также квадратичная функция от $y$. Найдём её корни: $-3y^2 + 4y = y(4 - 3y) = 0$. Корни: $y_1 = 0$ и $y_2 = \frac{4}{3}$. Так как ветви параболы $k(y) = -3y^2 + 4y$ направлены вниз, она принимает неотрицательные значения на отрезке между корнями, то есть при $y \in [0; \frac{4}{3}]$. По условию $y \in [0; 1]$, что является частью этого отрезка. Следовательно, $g_y(1) \ge 0$ для всех $y \in [0; 1]$.

Поскольку для любого фиксированного $y \in [0; 1]$ значения функции $g_y(x)$ на концах отрезка $[0; 1]$ неотрицательны, а её наименьшее значение на этом отрезке достигается на одном из концов, то $g_y(x) \ge 0$ для всех $x \in [0; 1]$.

Так как $y$ было выбрано произвольно из отрезка $[0; 1]$, мы доказали, что $f(x, y) \ge 0$ для всех $x, y$ из заданных промежутков. Это означает, что исходное неравенство $(x + y + 1)^2 \ge 4(x^2 + y^2)$ верно.

Что и требовалось доказать.

Ответ: