Номер 17.49, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.49, страница 171.

Условие.

17.49. Докажите, что при любых значениях $a$, $b$ и $c$ хотя бы одно из неравенств $a-b^2 \le \frac{1}{4}$, $b-c^2 \le \frac{1}{4}$, $c-a^2 \le \frac{1}{4}$ верно.

Решение.

Доказательство проведем методом от противного.

Предположим, что все три неравенства неверны. То есть, для некоторых чисел $a$, $b$ и $c$ одновременно выполняются следующие три неравенства:

$a - b^2 > \frac{1}{4}$

$b - c^2 > \frac{1}{4}$

$c - a^2 > \frac{1}{4}$

Сложим эти три неравенства:

$(a - b^2) + (b - c^2) + (c - a^2) > \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}$

$a + b + c - a^2 - b^2 - c^2 > \frac{3}{4}$

Перенесем все члены в правую часть неравенства, поменяв знак:

$0 > a^2 - a + b^2 - b + c^2 - c + \frac{3}{4}$

Для того чтобы проанализировать это выражение, выделим полные квадраты для каждой переменной:

$a^2 - a = (a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$b^2 - b = (b^2 - 2 \cdot b \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

$c^2 - c = (c^2 - 2 \cdot c \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2) - (\frac{1}{2})^2 = (c - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}$

Теперь подставим эти выражения в наше неравенство:

$0 > \left((a - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + \left((b - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + \left((c - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}\right) + \frac{3}{4}$

Раскроем скобки и упростим:

$0 > (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + \frac{3}{4}$

$0 > (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}$

$0 > (a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2$

Мы получили, что сумма трех квадратов является отрицательным числом. Однако, квадрат любого действительного числа является неотрицательным, то есть $(x)^2 \ge 0$. Следовательно, сумма квадратов также должна быть неотрицательной:

$(a - \frac{1}{2})^2 \ge 0$

$(b - \frac{1}{2})^2 \ge 0$

$(c - \frac{1}{2})^2 \ge 0$

А значит, их сумма $(a - \frac{1}{2})^2 + (b - \frac{1}{2})^2 + (c - \frac{1}{2})^2 \ge 0$.

Полученное противоречие ($0 > \text{неотрицательное число}$) означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, не могут все три неравенства $a - b^2 > \frac{1}{4}$, $b - c^2 > \frac{1}{4}$ и $c - a^2 > \frac{1}{4}$ выполняться одновременно.

Это доказывает, что хотя бы одно из исходных неравенств $a - b^2 \le \frac{1}{4}$, $b - c^2 \le \frac{1}{4}$ или $c - a^2 \le \frac{1}{4}$ всегда верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.