Номер 17.54, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.54, страница 171.

Условие.

17.54. Известно, что $a > 0, b > 0, c > 0$ и $ab + bc + ac \ge a + b + c$. Докажите, что $a + b + c \ge 3$.

Решение.

Для доказательства воспользуемся известным неравенством $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$. Докажем его справедливость. Преобразуем неравенство:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac \ge 3ab + 3bc + 3ac$

$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac \ge 0$

Умножим обе части неравенства на 2:

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для выделения полных квадратов:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) \ge 0$

$(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \ge 0$

Последнее неравенство верно, так как сумма квадратов действительных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$ доказано.

Теперь используем условия, данные в задаче. Обозначим $S = a+b+c$. По условию, $ab+bc+ac \ge a+b+c$, то есть $ab+bc+ac \ge S$.

Из доказанного выше неравенства $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$ следует:

$S^2 \ge 3(ab+bc+ac)$

Так как $ab+bc+ac \ge S$, то $3(ab+bc+ac) \ge 3S$. Объединяя два последних неравенства, получаем:

$S^2 \ge 3S$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное неравенство:

$S^2 - 3S \ge 0$

$S(S-3) \ge 0$

Это неравенство выполняется при $S \le 0$ или $S \ge 3$.

По условию задачи $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$, поэтому их сумма $S = a+b+c$ также строго положительна: $S > 0$.

Поскольку $S > 0$, случай $S \le 0$ невозможен. Следовательно, должно выполняться условие $S \ge 3$.

Подставляя обратно $S = a+b+c$, получаем, что $a+b+c \ge 3$. Что и требовалось доказать.

Ответ: утверждение доказано.