Номер 17.60, страница 172 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.60, страница 172.

Условие.

17.60. Докажите неравенство $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{(n+1)^2} < 1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Решение.

Для доказательства неравенства $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 $ воспользуемся методом сравнения.

Заметим, что для любого натурального числа $k \ge 2$ справедливо неравенство: $ k^2 > k^2 - k = k(k-1) $ Из этого следует, что для обратных величин будет выполняться неравенство противоположного знака: $ \frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} $

Теперь мы можем оценить сумму в левой части исходного неравенства, заменив каждый ее член на заведомо больший: $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{2(2-1)} + \frac{1}{3(3-1)} + ... + \frac{1}{(n+1)((n+1)-1)} $ Это можно записать в виде: $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} $

Найдем значение суммы в правой части. Для этого представим каждый ее член в виде разности двух дробей: $ \frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1} $

Применяя это разложение к нашей сумме, получаем: $ \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + ... + \frac{1}{n(n+1)} = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) $

Эта сумма является телескопической. В ней все промежуточные члены с противоположными знаками взаимно уничтожаются, и в результате остается только первый и последний член: $ 1 - \frac{1}{n+1} $

Таким образом, мы показали, что: $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 - \frac{1}{n+1} $

По условию задачи $n \in N$, то есть $n$ является натуральным числом ($n \ge 1$).
Следовательно, $n+1 \ge 2$, и дробь $\frac{1}{n+1}$ является положительным числом: $\frac{1}{n+1} > 0$.

Из этого следует, что $1 - \frac{1}{n+1} < 1$.

Объединяя полученные результаты, мы можем выстроить следующую цепочку неравенств: $ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{(n+1)^2} < 1 - \frac{1}{n+1} < 1 $

Отсюда напрямую следует, что исходное неравенство верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.