Номер 17.53, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.53, страница 171.

Условие.

17.53. Докажите, что если $a > 0, b > 0, c > 0$ и $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$, то

$\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2}.$

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся известным следствием из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом: для любых действительных чисел $x$ и $y$ справедливо $x^2 + y^2 \ge 2xy$. Данное неравенство также легко получается из очевидного факта $(x-y)^2 \ge 0$.

Рассмотрим каждое слагаемое в левой части доказываемого неравенства.

Для первого слагаемого $\frac{a}{a^2 + b^2}$ применим к его знаменателю указанное выше неравенство:

$a^2 + b^2 \ge 2ab$

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, обе части неравенства положительны. Мы можем взять обратные величины от обеих частей, изменив знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{a^2 + b^2} \le \frac{1}{2ab}$

Теперь умножим обе части на положительное число $a$:

$\frac{a}{a^2 + b^2} \le \frac{a}{2ab} = \frac{1}{2b}$

Проводя абсолютно аналогичные рассуждения для двух других слагаемых, получим следующие неравенства:

$\frac{b}{b^2 + c^2} \le \frac{b}{2bc} = \frac{1}{2c}$

$\frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{c}{2ca} = \frac{1}{2a}$

Теперь сложим три полученных неравенства почленно:

$\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2b} + \frac{1}{2c} + \frac{1}{2a}$

В правой части вынесем за скобки общий множитель $\frac{1}{2}$:

$\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$

По условию задачи нам дано, что $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1$. Подставим это значение в правую часть нашего неравенства:

$\frac{a}{a^2 + b^2} + \frac{b}{b^2 + c^2} + \frac{c}{c^2 + a^2} \le \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Таким образом, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.