Номер 17.45, страница 171 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.45, страница 171.

Условие.

17.45. Докажите неравенство $(\frac{a}{b})^2 + (\frac{b}{c})^2 + (\frac{c}{a})^2 \ge \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства введем следующие замены: $x = \frac{a}{b}$, $y = \frac{b}{c}$, $z = \frac{c}{a}$. Будем считать, что переменные $a, b, c$ являются положительными действительными числами, следовательно, $x, y, z$ также положительны.

Левая часть неравенства в новых переменных имеет вид: $x^2 + y^2 + z^2$.

Теперь выразим правую часть неравенства через $x, y, z$. Заметим, что:

$\frac{a}{c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{c} = xy$

$\frac{c}{b} = \frac{c}{a} \cdot \frac{a}{b} = zx$

$\frac{b}{a} = \frac{b}{c} \cdot \frac{c}{a} = yz$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$x^2 + y^2 + z^2 \ge xy + yz + zx$

Это известное неравенство. Докажем его. Умножим обе части на 2 и перенесем все члены в левую часть:

$2(x^2 + y^2 + z^2) \ge 2(xy + yz + zx)$

$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полные квадраты:

$(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (z^2 - 2zx + x^2) \ge 0$

Полученное выражение представляет собой сумму квадратов разностей:

$(x - y)^2 + (y - z)^2 + (z - x)^2 \ge 0$

Это неравенство всегда верно для любых действительных чисел $x, y, z$, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел также неотрицательна.

Следовательно, эквивалентное ему исходное неравенство также верно. Равенство достигается тогда и только тогда, когда $x=y=z$. Учитывая, что произведение этих величин $xyz = \frac{a}{b}\frac{b}{c}\frac{c}{a} = 1$, получаем, что $x=y=z=1$, то есть $a=b=c$.

Ответ: Неравенство доказано.