Номер 17.41, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.41, страница 170.

Условие.

17.41. Докажите неравенство $a^2+b^2+1 \ge ab+b+a$.

Решение.

17.41. Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + 1 \ge ab + b + a$ перенесём все члены из правой части в левую с противоположным знаком:

$a^2 + b^2 + 1 - ab - b - a \ge 0$

Чтобы упростить выражение и выделить полные квадраты, умножим обе части неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$2(a^2 + b^2 + 1 - ab - b - a) \ge 2 \cdot 0$

$2a^2 + 2b^2 + 2 - 2ab - 2b - 2a \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые в левой части. Представим $2a^2$ как $a^2 + a^2$, $2b^2$ как $b^2 + b^2$ и 2 как $1 + 1$:

$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) \ge 0$

Каждая из полученных групп слагаемых является полным квадратом:

• $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
• $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$
• $b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$

Подставив эти выражения обратно в неравенство, получим:

$(a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(a-b)^2 \ge 0$, $(a-1)^2 \ge 0$ и $(b-1)^2 \ge 0$. Сумма трёх неотрицательных чисел также всегда неотрицательна.

Следовательно, неравенство $(a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 \ge 0$ является верным для любых действительных чисел $a$ и $b$. Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также доказано.

Ответ: что и требовалось доказать.