Номер 17.40, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.40, страница 170.

Условие.

17.40. Докажите, что если $b > 0$, то $a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся неравенством о средних арифметическом и геометрическом (неравенством Коши) для четырех неотрицательных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4$, которое гласит:

$ \frac{x_1 + x_2 + x_3 + x_4}{4} \ge \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4} $

или, что то же самое:

$ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 \ge 4 \sqrt[4]{x_1 x_2 x_3 x_4} $

В качестве четырех чисел возьмем слагаемые из левой части исходного неравенства: $a^4$, $b^3$, $b$ и $1$.

Прежде чем применять неравенство Коши, необходимо убедиться, что все эти числа неотрицательны при заданном условии $b \ge 0$:

1. $a^4 \ge 0$ для любого действительного числа $a$, так как показатель степени — четное число.

2. $b^3 \ge 0$, так как по условию $b \ge 0$.

3. $b \ge 0$ согласно условию задачи.

4. $1 > 0$.

Все числа являются неотрицательными, следовательно, мы можем применить к ним неравенство Коши:

$ a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4 \sqrt[4]{a^4 \cdot b^3 \cdot b \cdot 1} $

Теперь упростим правую часть полученного неравенства:

$ 4 \sqrt[4]{a^4 \cdot b^3 \cdot b \cdot 1} = 4 \sqrt[4]{a^4 b^{3+1}} = 4 \sqrt[4]{a^4 b^4} = 4 \sqrt[4]{(ab)^4} $

По определению корня четной степени, $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, поэтому:

$ 4 \sqrt[4]{(ab)^4} = 4|ab| $

Таким образом, мы доказали промежуточное неравенство:

$ a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4|ab| $

По определению модуля числа, для любых действительных $a$ и $b$ справедливо неравенство $|ab| \ge ab$. Умножив обе части на 4, получим $4|ab| \ge 4ab$.

Соединив два полученных неравенства, мы получаем следующую цепочку:

$ a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4|ab| \ge 4ab $

Из этой цепочки напрямую следует, что $a^4 + b^3 + b + 1 \ge 4ab$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.