Номер 17.38, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.38, страница 170.

Условие.

17.38. Докажите неравенство $x^4 + 4y^4 + 5 \ge 8xy$.

Решение.

Для доказательства неравенства перенесем все его члены в левую часть:

$x^4 + 4y^4 + 5 - 8xy \ge 0$

Теперь докажем, что выражение в левой части всегда неотрицательно для любых действительных чисел $x$ и $y$. Для этого преобразуем его, выделив полные квадраты.

Сгруппируем члены и добавим и вычтем $4x^2y^2$, чтобы получить квадрат разности для членов четвертой степени:

$x^4 + 4y^4 - 8xy + 5 = (x^4 - 4x^2y^2 + 4y^4) + 4x^2y^2 - 8xy + 5$

Выражение в скобках является полным квадратом $(x^2 - 2y^2)^2$. Теперь наше выражение имеет вид:

$(x^2 - 2y^2)^2 + 4x^2y^2 - 8xy + 5$

Рассмотрим оставшиеся члены $4x^2y^2 - 8xy + 5$. В них также можно выделить полный квадрат. Представим 5 как $4+1$:

$4x^2y^2 - 8xy + 4 + 1 = 4(x^2y^2 - 2xy + 1) + 1$

Выражение в скобках, $x^2y^2 - 2xy + 1$, является полным квадратом разности $(xy - 1)^2$. Таким образом, получаем:

$4(xy - 1)^2 + 1$

Теперь подставим это обратно в наше основное выражение:

$(x^2 - 2y^2)^2 + 4(xy - 1)^2 + 1$

Мы преобразовали левую часть исходного неравенства в сумму трех слагаемых:

1. $(x^2 - 2y^2)^2 \ge 0$, так как квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен.

2. $4(xy - 1)^2 \ge 0$, так как это произведение положительного числа 4 на квадрат, который также неотрицателен.

3. $1$, которое является положительным числом.

Сумма двух неотрицательных выражений и положительного числа всегда будет положительной. Оценим ее снизу:

$(x^2 - 2y^2)^2 + 4(xy - 1)^2 + 1 \ge 0 + 0 + 1 = 1$

Поскольку $1 > 0$, то мы доказали, что $x^4 + 4y^4 + 5 - 8xy > 0$. Отсюда следует, что исходное неравенство $x^4 + 4y^4 + 5 \ge 8xy$ верно для любых действительных значений $x$ и $y$.

Ответ: Что и требовалось доказать.