Номер 17.31, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.31, страница 170.

Условие.

17.31. Докажите, что если $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$, то $\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1$.

Решение.

Требуется доказать неравенство $\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1$ для всех $x, y$ из отрезка $[0; 1]$.

Преобразуем данное неравенство. Так как $x \ge 0$ и $y \ge 0$, то знаменатели $1+y$ и $1+x$ строго положительны. Поэтому мы можем привести дроби к общему знаменателю и умножить обе части неравенства на него, сохранив знак неравенства.

$\frac{x(1+x) + y(1+y)}{(1+y)(1+x)} \le 1$

Умножим обе части на положительный знаменатель $(1+y)(1+x)$:

$x(1+x) + y(1+y) \le (1+y)(1+x)$

Раскроем скобки в обеих частях:

$x + x^2 + y + y^2 \le 1 + x + y + xy$

Сократим одинаковые слагаемые ($x$ и $y$) в обеих частях:

$x^2 + y^2 \le 1 + xy$

Это неравенство эквивалентно исходному. Докажем его справедливость, используя условия $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$.

Из условия $x \le 1$ и $y \le 1$ следует, что $(1-x) \ge 0$ и $(1-y) \ge 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно:

$(1-x)(1-y) \ge 0$

$1 - y - x + xy \ge 0$

$1 + xy \ge x + y$ (1)

Далее, из $0 \le x \le 1$ следует $x^2 \le x$, так как мы умножаем неравенство $x \le 1$ на неотрицательное число $x$. Аналогично, из $0 \le y \le 1$ следует $y^2 \le y$. Сложим эти два неравенства:

$x^2 + y^2 \le x + y$ (2)

Теперь объединим неравенства (1) и (2) в одну цепочку:

$x^2 + y^2 \le x + y \le 1 + xy$

Из этой цепочки напрямую следует, что $x^2 + y^2 \le 1 + xy$, что мы и хотели доказать.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $\frac{x}{1+y} + \frac{y}{1+x} \le 1$ также верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.