Номер 17.26, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.26, страница 170.

Условие.

17.26. Докажите неравенство $a^8 + a^6 - 4a^4 + a^2 + 1 \ge 0$.

Решение.

17.26. Для доказательства данного неравенства преобразуем его левую часть. Представим слагаемое $-4a^4$ в виде суммы $-2a^4 - 2a^4$ и выполним группировку:

$a^8 + a^6 - 4a^4 + a^2 + 1 = (a^8 - 2a^4 + 1) + (a^6 - 2a^4 + a^2)$

Первая группа слагаемых, $(a^8 - 2a^4 + 1)$, является полным квадратом разности выражения $a^4-1$:

$a^8 - 2a^4 + 1 = (a^4 - 1)^2$

Во второй группе слагаемых, $(a^6 - 2a^4 + a^2)$, вынесем за скобки общий множитель $a^2$. Оставшееся в скобках выражение также является полным квадратом:

$a^6 - 2a^4 + a^2 = a^2(a^4 - 2a^2 + 1) = a^2(a^2 - 1)^2$

Теперь подставим преобразованные части обратно в исходное выражение:

$a^8 + a^6 - 4a^4 + a^2 + 1 = (a^4 - 1)^2 + a^2(a^2 - 1)^2$

Полученное выражение представляет собой сумму двух слагаемых. Проанализируем каждое из них:

1. Первое слагаемое, $(a^4 - 1)^2$, является квадратом действительного числа, поэтому его значение всегда неотрицательно, то есть $(a^4 - 1)^2 \geq 0$ для любого $a$.

2. Второе слагаемое, $a^2(a^2 - 1)^2$, является произведением двух выражений, каждое из которых — полный квадрат ($a^2$ и $(a^2 - 1)^2$). Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $a^2 \geq 0$ и $(a^2 - 1)^2 \geq 0$. Произведение двух неотрицательных чисел также неотрицательно: $a^2(a^2 - 1)^2 \geq 0$ для любого $a$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна:

$(a^4 - 1)^2 + a^2(a^2 - 1)^2 \geq 0$

Таким образом, мы показали, что $a^8 + a^6 - 4a^4 + a^2 + 1 \geq 0$ для любого действительного числа $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.