Номер 17.27, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.27, страница 170.

Условие.

17.27. Докажите неравенство $x^8 + x^6 - 2x^3 + x^2 + 1 > 0$.

Решение.

Для доказательства неравенства преобразуем его левую часть. Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полный квадрат.

$x^8 + x^6 - 2x^3 + x^2 + 1 = x^8 + x^2 + (x^6 - 2x^3 + 1)$

Заметим, что выражение в скобках представляет собой полный квадрат разности для выражения $x^3$:

$x^6 - 2x^3 + 1 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 1 + 1^2 = (x^3 - 1)^2$

Подставив это обратно в исходное выражение, получим сумму трех слагаемых:

$x^8 + x^2 + (x^3 - 1)^2$

Теперь проанализируем каждое слагаемое в полученной сумме:
1. Слагаемое $x^8$ всегда неотрицательно, так как представляет собой четную степень переменной. $x^8 \ge 0$, причем равенство нулю достигается только при $x=0$.
2. Слагаемое $x^2$ также является четной степенью и всегда неотрицательно. $x^2 \ge 0$, причем равенство нулю достигается только при $x=0$.
3. Слагаемое $(x^3 - 1)^2$ является квадратом выражения и поэтому всегда неотрицательно. $(x^3 - 1)^2 \ge 0$, причем равенство нулю достигается только при $x^3 - 1 = 0$, то есть при $x=1$.

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Чтобы выражение $x^8 + x^2 + (x^3 - 1)^2$ было равно нулю, необходимо одновременное выполнение условий $x=0$ (из первых двух слагаемых) и $x=1$ (из третьего слагаемого).

Так как переменная $x$ не может одновременно принимать значения 0 и 1, эти условия несовместимы. Это означает, что сумма $x^8 + x^2 + (x^3 - 1)^2$ никогда не может быть равной нулю.

Поскольку все слагаемые в сумме неотрицательны, и они не могут быть все равны нулю одновременно, их сумма всегда будет строго положительной. Таким образом, неравенство $x^8 + x^6 - 2x^3 + x^2 + 1 > 0$ справедливо для всех действительных чисел $x$.

Ответ: Неравенство доказано.