Номер 17.32, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.32, страница 170.

Условие.

17.32. Докажите, что если $a > 0$ и $b > 0$, то $\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся тем, что $a > 0$ и $b > 0$.

Рассмотрим правую часть неравенства и представим ее в виде суммы двух дробей:

$\frac{a+b}{1+a+b} = \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}$

Теперь исходное неравенство можно переписать так:

$\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}$

Докажем это, сравнивая попарно слагаемые с одинаковыми числителями.

1. Сравним $\frac{a}{1+a}$ и $\frac{a}{1+a+b}$.

Так как $b > 0$, то знаменатель $1+a+b$ больше знаменателя $1+a$. Поскольку числитель $a$ положителен, из двух дробей с одинаковыми положительными числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Следовательно:

$\frac{a}{1+a} > \frac{a}{1+a+b}$

2. Сравним $\frac{b}{1+b}$ и $\frac{b}{1+a+b}$.

Так как $a > 0$, то знаменатель $1+a+b$ больше знаменателя $1+b$. Поскольку числитель $b$ положителен, аналогично предыдущему пункту получаем:

$\frac{b}{1+b} > \frac{b}{1+a+b}$

Мы получили два верных неравенства. Сложив их почленно (левую часть с левой, правую с правой), получим:

$\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a}{1+a+b} + \frac{b}{1+a+b}$

Упрощая правую часть, приходим к исходному неравенству:

$\frac{a}{1+a} + \frac{b}{1+b} > \frac{a+b}{1+a+b}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство доказано.