Номер 17.25, страница 170 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.25, страница 170.

Условие.

17.25. Известно, что $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$. Докажите, что

$\frac{1}{1+x^2} + \frac{1}{1+y^2} \le \frac{2}{1+xy}$.

Решение.

Для доказательства данного неравенства преобразуем его, перенеся все члены в левую часть и сгруппировав их следующим образом:

$$ \left(\frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+xy}\right) + \left(\frac{1}{1+y^2} - \frac{1}{1+xy}\right) \le 0 $$

Приведём к общему знаменателю выражения в каждой из скобок:

$$ \frac{(1+xy) - (1+x^2)}{(1+x^2)(1+xy)} + \frac{(1+xy) - (1+y^2)}{(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Упростим числители:

$$ \frac{xy - x^2}{(1+x^2)(1+xy)} + \frac{xy - y^2}{(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Вынесем общие множители в числителях:

$$ \frac{x(y-x)}{(1+x^2)(1+xy)} + \frac{y(x-y)}{(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Теперь приведём всю левую часть к общему знаменателю $(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)$:

$$ \frac{x(y-x)(1+y^2) + y(x-y)(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ в числителе. Для этого заменим $y-x$ на $-(x-y)$:

$$ \frac{-x(x-y)(1+y^2) + y(x-y)(1+x^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

$$ \frac{(x-y) \left[ -x(1+y^2) + y(1+x^2) \right]}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ \frac{(x-y) (-x - xy^2 + y + yx^2)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Сгруппируем слагаемые в числителе:

$$ \frac{(x-y) \left[ (y-x) + (yx^2 - xy^2) \right]}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

$$ \frac{(x-y) \left[ -(x-y) + xy(x-y) \right]}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Вынесем $(x-y)$ ещё раз:

$$ \frac{(x-y)(x-y)(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

$$ \frac{(x-y)^2(xy-1)}{(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)} \le 0 $$

Проанализируем знак полученного выражения.Поскольку по условию $x \in [0; 1]$ и $y \in [0; 1]$, то $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Следовательно, знаменатель $(1+x^2)(1+y^2)(1+xy)$ всегда строго положителен.

Значит, знак всей дроби определяется знаком её числителя $(x-y)^2(xy-1)$.

Рассмотрим множители в числителе:

1. $(x-y)^2$ — это квадрат действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x-y)^2 \ge 0$.

2. $(xy-1)$. Из условий $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$ следует, что их произведение $xy$ также находится в этих пределах: $0 \le xy \le 1$. Отсюда получаем, что $xy - 1 \le 0$.

Таким образом, числитель является произведением неотрицательного числа $(x-y)^2$ и неположительного числа $(xy-1)$. Такое произведение всегда неположительно:

$$ (x-y)^2(xy-1) \le 0 $$

Поскольку числитель неположителен, а знаменатель положителен, вся дробь неположительна. Это доказывает справедливость исходного неравенства.

Ответ: Что и требовалось доказать.