Номер 17.19, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.19, страница 169.

Условие.

17.19. Докажите, что если $x > 0$ и $y > 0$, то $\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \ge \frac{x + y}{2}$.

Решение.

Для доказательства заданного неравенства выполним равносильные преобразования. Исходное неравенство:

$\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \ge \frac{x+y}{2}$

Поскольку по условию $x > 0$ и $y > 0$, то знаменатели обеих дробей строго положительны: $x^2 + y^2 > 0$ и $2 > 0$. Следовательно, мы можем умножить обе части неравенства на $2(x^2 + y^2)$, при этом знак неравенства не изменится:

$2(x^3 + y^3) \ge (x+y)(x^2 + y^2)$

Раскроем скобки в обеих частях полученного неравенства:

$2x^3 + 2y^3 \ge x^3 + xy^2 + x^2y + y^3$

Перенесём все члены в левую часть и приведём подобные слагаемые:

$2x^3 - x^3 + 2y^3 - y^3 - x^2y - xy^2 \ge 0$

$x^3 + y^3 - x^2y - xy^2 \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые для дальнейшего разложения на множители:

$(x^3 - x^2y) + (y^3 - xy^2) \ge 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x - y) - y^2(x - y) \ge 0$

Вынесем за скобки общий множитель $(x - y)$:

$(x^2 - y^2)(x - y) \ge 0$

Используем формулу разности квадратов для выражения $(x^2 - y^2)$:

$(x - y)(x + y)(x - y) \ge 0$

$(x - y)^2(x + y) \ge 0$

Мы пришли к неравенству, справедливость которого очевидна для $x > 0$ и $y > 0$, так как:

1. Множитель $(x - y)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$.

2. Множитель $(x + y)$ является суммой двух положительных чисел, поэтому он строго положителен, то есть $x + y > 0$.

Произведение неотрицательного числа на положительное число всегда является неотрицательным. Таким образом, неравенство $(x - y)^2(x + y) \ge 0$ верно.

Поскольку все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \ge \frac{x+y}{2}$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: неравенство доказано.