Номер 17.15, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.15, страница 169.

Условие.

17.15. Докажите, что:

1) если $0 < a < b, k > 0,$ то $\frac{a}{b} < \frac{a+k}{b+k};$

2) если $a \ge b > 0, k > 0,$ то $\frac{a}{b} \ge \frac{a+k}{b+k}.$

Решение.

1)

Требуется доказать, что если $0 < a < b$ и $k > 0$, то $\frac{a}{b} < \frac{a+k}{b+k}$.
Для этого рассмотрим разность дробей $\frac{a+k}{b+k}$ и $\frac{a}{b}$. Если эта разность окажется положительной, то неравенство будет доказано.

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+k)$:
$\frac{a+k}{b+k} - \frac{a}{b} = \frac{b(a+k) - a(b+k)}{b(b+k)} = \frac{ab + bk - ab - ak}{b(b+k)} = \frac{bk - ak}{b(b+k)} = \frac{k(b-a)}{b(b+k)}$.

Проанализируем знак полученного выражения, исходя из заданных условий:
- В числителе: $k > 0$ по условию; так как $0 < a < b$, то $b-a > 0$. Произведение двух положительных чисел $k(b-a)$ положительно.
- В знаменателе: $b > 0$ по условию; так как $b > 0$ и $k > 0$, то их сумма $b+k > 0$. Произведение двух положительных чисел $b(b+k)$ положительно.

Поскольку и числитель, и знаменатель дроби положительны, сама дробь является положительным числом:
$\frac{k(b-a)}{b(b+k)} > 0$.
Это означает, что разность $\frac{a+k}{b+k} - \frac{a}{b} > 0$, из чего следует, что $\frac{a+k}{b+k} > \frac{a}{b}$.
Таким образом, неравенство $\frac{a}{b} < \frac{a+k}{b+k}$ доказано.

Ответ: доказано.

2)

Требуется доказать, что если $a \ge b > 0$ и $k > 0$, то $\frac{a}{b} \ge \frac{a+k}{b+k}$.
Для этого рассмотрим разность дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{a+k}{b+k}$. Если эта разность окажется неотрицательной (больше или равна нулю), то неравенство будет доказано.

Приведем дроби к общему знаменателю $b(b+k)$:
$\frac{a}{b} - \frac{a+k}{b+k} = \frac{a(b+k) - b(a+k)}{b(b+k)} = \frac{ab + ak - ab - bk}{b(b+k)} = \frac{ak - bk}{b(b+k)} = \frac{k(a-b)}{b(b+k)}$.

Проанализируем знак полученного выражения, исходя из заданных условий:
- В числителе: $k > 0$ по условию; так как $a \ge b$, то $a-b \ge 0$. Произведение $k(a-b)$ неотрицательно ($ \ge 0 $).
- В знаменателе: $b > 0$ по условию; так как $b > 0$ и $k > 0$, то их сумма $b+k > 0$. Произведение $b(b+k)$ положительно.

Дробь, у которой числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, является неотрицательной:
$\frac{k(a-b)}{b(b+k)} \ge 0$.
Это означает, что разность $\frac{a}{b} - \frac{a+k}{b+k} \ge 0$, из чего следует, что $\frac{a}{b} \ge \frac{a+k}{b+k}$.
Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: доказано.