Номер 17.11, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.11, страница 169.

Условие.

17.11. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0;$

2) $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y;$

3) $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0;$

4) $a^2 + b^2 + c^2 \ge 2(a + b + c) - 3.$

Решение.

1) Докажем неравенство $a^2 + b^2 - 16a + 14b + 114 > 0$.

Для этого сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $a$ и $b$, и выделим полные квадраты по формулам $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ и $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a^2 - 16a) + (b^2 + 14b) + 114 > 0$

Для выражения $a^2 - 16a$ полный квадрат — это $(a-8)^2 = a^2 - 16a + 64$. Таким образом, $a^2 - 16a = (a-8)^2 - 64$.

Для выражения $b^2 + 14b$ полный квадрат — это $(b+7)^2 = b^2 + 14b + 49$. Таким образом, $b^2 + 14b = (b+7)^2 - 49$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$((a - 8)^2 - 64) + ((b + 7)^2 - 49) + 114 > 0$

$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 - 64 - 49 + 114 > 0$

$(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 > 0$

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной, поэтому $(a - 8)^2 \ge 0$ и $(b + 7)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна: $(a - 8)^2 + (b + 7)^2 \ge 0$.

Прибавляя к неотрицательному числу 1, мы получаем число, которое всегда больше или равно 1: $(a - 8)^2 + (b + 7)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку $1 > 0$, то и левая часть неравенства всегда строго больше нуля. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

2) Докажем неравенство $x^2 + y^2 + 10 \ge 6x - 2y$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$x^2 - 6x + y^2 + 2y + 10 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты:

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 2y) + 10 \ge 0$

Выделим полный квадрат для $x$: $x^2 - 6x = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 = (x - 3)^2 - 9$.

Выделим полный квадрат для $y$: $y^2 + 2y = y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$.

Подставим полученные выражения в неравенство:

$((x - 3)^2 - 9) + ((y + 1)^2 - 1) + 10 \ge 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 - 9 - 1 + 10 \ge 0$

$(x - 3)^2 + (y + 1)^2 \ge 0$

Выражения $(x - 3)^2$ и $(y + 1)^2$ являются квадратами действительных чисел, поэтому они всегда неотрицательны: $(x - 3)^2 \ge 0$ и $(y + 1)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство верно для любых значений $x$ и $y$.

Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $c^2 + 5d^2 + 4cd - 4d + 4 \ge 0$.

Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы выделить полные квадраты. Заметим член $4cd$, который является удвоенным произведением $c$ и $2d$.

Представим $5d^2$ как $4d^2 + d^2$:

$c^2 + 4cd + 4d^2 + d^2 - 4d + 4 \ge 0$

Теперь сгруппируем слагаемые:

$(c^2 + 4cd + 4d^2) + (d^2 - 4d + 4) \ge 0$

Первая скобка является полным квадратом суммы: $(c + 2d)^2$.

Вторая скобка является полным квадратом разности: $(d - 2)^2$.

Таким образом, неравенство принимает вид:

$(c + 2d)^2 + (d - 2)^2 \ge 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, поэтому $(c + 2d)^2 \ge 0$ и $(d - 2)^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 \ge 2(a + b + c) - 3$.

Раскроем скобки в правой части и перенесем все слагаемые в левую часть:

$a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a + 2b + 2c - 3$

$a^2 - 2a + b^2 - 2b + c^2 - 2c + 3 \ge 0$

Сгруппируем слагаемые по переменным и выделим полные квадраты:

$(a^2 - 2a) + (b^2 - 2b) + (c^2 - 2c) + 3 \ge 0$

Представим число 3 как сумму $1 + 1 + 1$ и распределим единицы по скобкам:

$(a^2 - 2a + 1) + (b^2 - 2b + 1) + (c^2 - 2c + 1) \ge 0$

Каждое выражение в скобках является полным квадратом:

$(a - 1)^2 + (b - 1)^2 + (c - 1)^2 \ge 0$

Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, имеем:

$(a - 1)^2 \ge 0$

$(b - 1)^2 \ge 0$

$(c - 1)^2 \ge 0$

Сумма трех неотрицательных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство верно для любых $a, b, c$.

Ответ: Неравенство доказано.