Номер 17.6, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.6, страница 169.

Условие.

17.6. Докажите, что если $x \ge 4$, то $x^3 - 4x^2 + 2x - 8 \ge 0$.

Решение.

Для доказательства утверждения рассмотрим левую часть неравенства $x^3 - 4x^2 + 2x - 8 \ge 0$. Разложим многочлен $x^3 - 4x^2 + 2x - 8$ на множители методом группировки.

Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое:

$(x^3 - 4x^2) + (2x - 8)$

Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2$ из первой и $2$ из второй.

$x^2(x - 4) + 2(x - 4)$

Теперь мы видим общий множитель $(x - 4)$, который можно вынести за скобки:

$(x^2 + 2)(x - 4)$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(x^2 + 2)(x - 4) \ge 0$

Теперь проанализируем знаки каждого из множителей при заданном условии $x \ge 4$.

1. Первый множитель: $(x^2 + 2)$. Поскольку $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$ ($x^2 \ge 0$), то выражение $x^2 + 2$ всегда будет больше или равно 2. То есть, $x^2 + 2 > 0$. Этот множитель всегда строго положительный.

2. Второй множитель: $(x - 4)$. По условию задачи $x \ge 4$. Это означает, что разность $x - 4$ будет больше или равна нулю, то есть $x - 4 \ge 0$. Этот множитель является неотрицательным.

Произведение строго положительного числа $(x^2 + 2)$ и неотрицательного числа $(x - 4)$ всегда будет неотрицательным. Следовательно, неравенство $(x^2 + 2)(x - 4) \ge 0$ верно для всех $x \ge 4$.

Ответ: что и требовалось доказать.