Номер 17.8, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.8, страница 169.

Условие.

17.8. Докажите, что если $a < b$, то $a < \frac{a+b}{2} < b$.

Решение.

Для доказательства двойного неравенства $a < \frac{a+b}{2} < b$ при условии $a < b$ необходимо доказать справедливость двух неравенств: $a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$.

1. Докажем первое неравенство: $a < \frac{a+b}{2}$.

Возьмем за основу исходное условие $a < b$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства слагаемое $a$:

$a + a < b + a$

$2a < a + b$

Разделим обе части полученного неравенства на 2. Поскольку 2 — положительное число, знак неравенства не изменится:

$\frac{2a}{2} < \frac{a+b}{2}$

$a < \frac{a+b}{2}$

Таким образом, первая часть двойного неравенства доказана.

2. Докажем второе неравенство: $\frac{a+b}{2} < b$.

Снова обратимся к исходному условию $a < b$.

Прибавим к обеим частям этого неравенства слагаемое $b$:

$a + b < b + b$

$a + b < 2b$

Разделим обе части неравенства на 2. Знак неравенства сохранится, так как 2 > 0:

$\frac{a+b}{2} < \frac{2b}{2}$

$\frac{a+b}{2} < b$

Вторая часть двойного неравенства также доказана.

Поскольку мы доказали оба неравенства ($a < \frac{a+b}{2}$ и $\frac{a+b}{2} < b$), мы можем объединить их в одно двойное неравенство, подтверждая истинность исходного утверждения:

$a < \frac{a+b}{2} < b$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.