Номер 17.5, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.5, страница 169.

Условие.

17.5. Докажите, что:

1) если $a \ge 6$, то $a^3 - 6a^2 + a - 6 \ge 0$;

2) если $a \ge b$, то $ab(b - a) \le a^3 - b^3$.

Решение.

1)

Требуется доказать, что если $a \geq 6$, то $a^3 - 6a^2 + a - 6 \geq 0$.
Для этого разложим многочлен в левой части неравенства на множители. Применим метод группировки:

$a^3 - 6a^2 + a - 6 = (a^3 - 6a^2) + (a - 6)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$a^2(a - 6) + 1(a - 6)$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(a - 6)$:

$(a - 6)(a^2 + 1)$

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству:

$(a - 6)(a^2 + 1) \geq 0$

Рассмотрим каждый множитель в левой части, учитывая условие $a \geq 6$:

• Множитель $(a - 6)$. Поскольку по условию $a \geq 6$, то разность $a - 6 \geq 0$. Этот множитель является неотрицательным.
• Множитель $(a^2 + 1)$. Выражение $a^2$ всегда неотрицательно для любого действительного числа $a$, то есть $a^2 \geq 0$. Следовательно, $a^2 + 1 \geq 1$, то есть этот множитель всегда строго положителен.

Произведение неотрицательного числа $(a - 6)$ и положительного числа $(a^2 + 1)$ всегда будет неотрицательным. Таким образом, неравенство $(a - 6)(a^2 + 1) \geq 0$ выполняется при $a \geq 6$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Требуется доказать, что если $a \geq b$, то $ab(b - a) \leq a^3 - b^3$.
Для доказательства преобразуем неравенство. Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$a^3 - b^3 - ab(b - a) \geq 0$

Используем формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и заметим, что $b - a = -(a - b)$. Подставим эти выражения в неравенство:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) - ab(-(a - b)) \geq 0$

$(a - b)(a^2 + ab + b^2) + ab(a - b) \geq 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a - b)((a^2 + ab + b^2) + ab) \geq 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a - b)(a^2 + 2ab + b^2) \geq 0$

Выражение $a^2 + 2ab + b^2$ является формулой квадрата суммы: $(a + b)^2$. Неравенство принимает вид:

$(a - b)(a + b)^2 \geq 0$

Рассмотрим каждый множитель в левой части, учитывая условие $a \geq b$:

• Множитель $(a - b)$. Поскольку по условию $a \geq b$, то разность $a - b \geq 0$. Этот множитель является неотрицательным.
• Множитель $(a + b)^2$. Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательным числом, то есть $(a + b)^2 \geq 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)^2$ всегда будет неотрицательным. Следовательно, неравенство $(a - b)(a + b)^2 \geq 0$ верно, а значит, верно и исходное неравенство, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.