Вопросы?, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - страница 168.

Условие.

Назовите основные методы доказательства неравенств.

Решение.

Для доказательства неравенств существует несколько основных методов, выбор которых зависит от вида самого неравенства. Ниже перечислены наиболее распространенные из них.

1. Метод разности

Это фундаментальный метод, основанный на определении понятий "больше" и "меньше". Чтобы доказать неравенство $A > B$, доказывают равносильное ему неравенство $A - B > 0$. Аналогично, для доказательства $A \geq B$ показывают, что разность $A - B \geq 0$. Для этого разность преобразуют так, чтобы ее знак стал очевиден (например, представляют в виде суммы квадратов, произведения неотрицательных множителей и т.д.).

Пример: Доказать, что при любых действительных $a$ и $b$ выполняется неравенство $a^2 + b^2 \geq 2ab$.
Решение: Рассмотрим разность левой и правой частей: $a^2 + b^2 - 2ab$. Используя формулу квадрата разности, получаем: $a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(a-b)^2 \geq 0$. Следовательно, $a^2 + b^2 - 2ab \geq 0$, что и доказывает исходное неравенство.

Ответ: Метод разности заключается в переносе всех членов неравенства в одну сторону и доказательстве того, что получившееся выражение является положительным (или неотрицательным).

2. Использование известных (опорных) неравенств

Метод заключается в сведении доказываемого неравенства к одному или нескольким уже известным (классическим) неравенствам путем алгебраических преобразований, замен переменных или логических рассуждений. К таким неравенствам относятся:

• Неравенство Коши (о средних): Для любых неотрицательных чисел $a_1, a_2, \dots, a_n$ их среднее арифметическое не меньше их среднего геометрического: $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 a_2 \dots a_n}$.
• Неравенство Коши-Буняковского-Шварца: Для любых действительных чисел $a_1, \dots, a_n$ и $b_1, \dots, b_n$ выполняется: $(\sum_{i=1}^{n} a_i b_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^{n} a_i^2)(\sum_{i=1}^{n} b_i^2)$.
• Неравенство Бернулли: Для любого $x > -1$ и натурального $n \geq 1$ выполняется $(1+x)^n \geq 1+nx$.

Ответ: Метод использования известных неравенств состоит в том, чтобы свести доказываемое неравенство к одному из классических неравенств, таких как неравенство Коши, Коши-Буняковского-Шварца, Бернулли и др.

3. Метод "от противного" (доказательство от противного)

Суть метода в том, что мы предполагаем, что доказываемое неравенство неверно (т.е. верно противоположное ему неравенство). Затем, с помощью верных логических рассуждений и преобразований, мы приходим к выводу, который противоречит либо условию задачи, либо какой-либо известной теореме или аксиоме. Это противоречие означает, что наше первоначальное предположение было ложным, а значит, исходное неравенство верно.

Ответ: Метод "от противного" заключается в предположении истинности обратного утверждения и последующем получении противоречия, что доказывает верность исходного неравенства.

4. Метод математической индукции

Этот метод применяется для доказательства неравенств, зависящих от натурального параметра $n$. Доказательство состоит из трех шагов:

1. База индукции: Проверяется справедливость неравенства для начального значения $n$ (обычно $n=1$ или $n=0$).
2. Индукционное предположение: Предполагается, что неравенство верно для некоторого произвольного натурального $n=k$.
3. Индукционный переход (шаг): Доказывается, что из справедливости неравенства для $n=k$ следует его справедливость для $n=k+1$.

Ответ: Метод математической индукции используется для доказательства неравенств, зависящих от натурального аргумента, путем доказательства "базы" (начального случая) и "шага" (перехода от $k$ к $k+1$).

5. Метод исследования функций (с помощью производной)

Этот метод часто используется, когда неравенство можно представить в виде $f(x) \geq g(x)$ или $f(x) \geq 0$. Для доказательства вводят вспомогательную функцию (например, $h(x) = f(x) - g(x)$) и исследуют ее на монотонность и экстремумы с помощью производной. Найдя наименьшее (или наибольшее) значение функции на заданной области, можно сделать вывод о справедливости неравенства.

Пример: Доказать, что $e^x \geq 1+x$ для всех действительных $x$.
Решение: Рассмотрим функцию $f(x) = e^x - 1 - x$. Найдем ее производную: $f'(x) = e^x - 1$. При $x<0$ производная $f'(x)<0$ (функция убывает), при $x>0$ производная $f'(x)>0$ (функция возрастает). Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет минимум. Значение функции в этой точке: $f(0) = e^0 - 1 - 0 = 0$. Так как $f(0)=0$ является наименьшим значением функции, то для всех $x$ выполняется $f(x) \geq 0$, откуда $e^x \geq 1+x$.

Ответ: Метод исследования функций заключается в применении аппарата математического анализа (в частности, производной) для нахождения наименьшего или наибольшего значения функции, связанной с доказываемым неравенством.

6. Геометрический метод

Данный метод предполагает геометрическую интерпретацию неравенства. Алгебраические выражения связываются с длинами отрезков, площадями фигур, объемами тел или другими геометрическими величинами. Затем доказательство строится на основе известных геометрических теорем и свойств (например, неравенства треугольника, которое гласит, что сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны).

Ответ: Геометрический метод состоит в сопоставлении алгебраическим выражениям в неравенстве геометрических величин (длин, площадей) и использовании для доказательства известных геометрических фактов и теорем.