Номер 16.25, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.25, страница 164.

Условие.

16.25. При каких значениях параметра $a$ система неравенств

$\begin{cases}|2x - a| + |x + a| \le 6, \\2x^2 + x - 2a \ge 2\end{cases}$ имеет:

1) решения;

2) единственное решение;

3) только отрицательные решения;

4) только положительные решения;

5) только решения, удовлетворяющие условию $|x| \ge 1;$

6) множество решений, содержащих не более одного целого числа?

Решение.

Рассмотрим систему неравенств:

$$\begin{cases}|2x - a| + |x + a| \le 6 \quad (1) \\2x^2 + x - 2a \ge 2 \quad (2)\end{cases}$$

Сначала проанализируем каждое неравенство отдельно.

Анализ неравенства (1): $|2x - a| + |x + a| \le 6$

Это неравенство с модулями. Решение можно найти, рассмотрев функцию $f(x) = |2x - a| + |x + a|$. График этой функции представляет собой ломаную линию. Решение неравенства $f(x) \le 6$ — это отрезок $[L, R]$.

Крайние точки отрезка решений определяются уравнениями, которые получаются при раскрытии обоих модулей с одинаковыми знаками:

• При $x \to \infty$: $(2x-a) + (x+a) = 6 \implies 3x=6 \implies x=2$.
• При $x \to -\infty$: $-(2x-a) - (x+a) = 6 \implies -3x=6 \implies x=-2$.

Таким образом, множество решений $S_1$ неравенства (1) является отрезком, концы которого зависят от параметра $a$. Общий вид решения можно записать как $S_1 = [\max(-2, 2a-6), \min(2, 2a+6)]$.

Неравенство имеет решения, если левая граница не больше правой:

$\max(-2, 2a-6) \le \min(2, 2a+6)$

Это эквивалентно системе из четырех неравенств:

$-2 \le 2$ (верно)

$2a-6 \le 2a+6$ (верно)

$-2 \le 2a+6 \implies -8 \le 2a \implies a \ge -4$

$2a-6 \le 2 \implies 2a \le 8 \implies a \le 4$

Таким образом, неравенство (1) имеет решения только при $a \in [-4, 4]$. Множество решений $S_1$ можно детализировать:

• Если $a \in [-4, -2]$, то $S_1 = [-2, 2a+6]$.
• Если $a \in (-2, 2)$, то $S_1 = [-2, 2]$.
• Если $a \in [2, 4]$, то $S_1 = [2a-6, 2]$.

Анализ неравенства (2): $2x^2 + x - 2a \ge 2 \iff 2x^2 + x - (2a+2) \ge 0$.

Это квадратное неравенство относительно $x$. График функции $g(x) = 2x^2 + x - (2a+2)$ — парабола с ветвями вверх.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-(2a+2)) = 1 + 16a + 16 = 16a + 17$.

• Если $D < 0$, то есть $16a+17 < 0 \iff a < -17/16$, то $g(x) > 0$ для всех $x$. Множество решений $S_2 = (-\infty, \infty)$.
• Если $D \ge 0$, то есть $a \ge -17/16$, то уравнение $g(x)=0$ имеет корни $x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{16a+17}}{4}$. Обозначим $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{16a+17}}{4}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{16a+17}}{4}$. Множество решений неравенства $S_2 = (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty)$.

Теперь найдем решения для каждого пункта задачи, находя пересечение $S = S_1 \cap S_2$.

1) решения

Система имеет решения, если множество $S = S_1 \cap S_2$ не пусто.

Мы знаем, что $S_1$ не пусто только при $a \in [-4, 4]$.

Если $a < -17/16$, то $S_2 = (-\infty, \infty)$, и $S = S_1$. Поскольку для $a \in [-4, -17/16)$ множество $S_1$ не пусто, система имеет решения.

Если $a \ge -17/16$, то $S_2 = (-\infty, x_1] \cup [x_2, \infty)$. Для существования решений необходимо, чтобы отрезок $S_1 = [L, R]$ пересекался с $S_2$. Это произойдет, если $L \le x_1$ или $R \ge x_2$.

Рассмотрим условие $R \ge x_2$. Для $a \in [-17/16, 4]$, правая граница $S_1$ равна $R=\min(2, 2a+6)$. При $a \ge -17/16 \approx -1.0625$, имеем $2a+6 \ge 2(-17/16)+6 = -17/8+6 = 31/8 > 2$. Значит, $R=2$. Проверяем условие $2 \ge x_2$:$2 \ge \frac{-1 + \sqrt{16a+17}}{4} \implies 8 \ge -1 + \sqrt{16a+17} \implies 9 \ge \sqrt{16a+17}$. Так как $\sqrt{16a+17} \ge 0$, возводим в квадрат: $81 \ge 16a+17 \implies 64 \ge 16a \implies a \le 4$. Это условие выполняется для всех $a \in [-17/16, 4]$.

Таким образом, для всех $a$, при которых $S_1$ непусто (т.е. $a \in [-4, 4]$), пересечение $S_1 \cap S_2$ также непусто.Следовательно, система имеет решения при $a \in [-4, 4]$.

Ответ: $a \in [-4, 4]$.

2) единственное решение

Единственное решение возможно в двух случаях:

а) $S_1$ состоит из одной точки, и эта точка принадлежит $S_2$.$S_1$ является точкой, если левая и правая границы совпадают.Из анализа $S_1$:- При $a=-4$, $S_1 = [-2, 2(-4)+6] = \{-2\}$. При $a=-4$, $D=16(-4)+17 < 0$, поэтому $S_2=(-\infty, \infty)$. Решение $x=-2$ принадлежит $S_2$. Значит, $a=-4$ подходит.- При $a=4$, $S_1 = [2(4)-6, 2] = \{2\}$. При $a=4$, $D=16(4)+17=81 > 0$, $x_1 = (-1-9)/4 = -2.5$, $x_2 = (-1+9)/4 = 2$. $S_2 = (-\infty, -2.5] \cup [2, \infty)$. Решение $x=2$ принадлежит $S_2$. Значит, $a=4$ подходит.

б) $S_1$ — отрезок, который пересекается с $S_2$ в одной точке.Это возможно, если $S_1 = [L, R]$ и, например, $L=x_2$, а $(L,R] \cap S_2 = \emptyset$. Рассмотрим $L=x_2$. При $a \in [-17/16, 2)$, $L=-2$. $-2 = \frac{-1+\sqrt{16a+17}}{4} \implies -8=-1+\sqrt{16a+17} \implies \sqrt{16a+17}=-7$, решений нет.При $a \in [2, 4]$, $L=2a-6$. $2a-6 = \frac{-1+\sqrt{16a+17}}{4} \implies 8a-24 = -1+\sqrt{16a+17} \implies 8a-23 = \sqrt{16a+17}$. Возводим в квадрат при $8a-23 \ge 0$ ($a \ge 23/8$): $64a^2-368a+529 = 16a+17 \implies 64a^2-384a+512=0 \implies a^2-6a+8=0$. Корни $a=2$ (не подходит, т.к. $2 < 23/8$) и $a=4$. При $a=4$ получаем уже рассмотренный случай.

Рассмотрим $R=x_1$. При $a \in [-17/16, 4]$, $R=2$. $2 = \frac{-1-\sqrt{16a+17}}{4} \implies 8=-1-\sqrt{16a+17} \implies \sqrt{16a+17}=-9$, решений нет.

Таким образом, единственное решение система имеет только при $a=-4$ и $a=4$.

Ответ: $a \in \{-4, 4\}$.

3) только отрицательные решения

Все решения $x$ должны удовлетворять условию $x < 0$. Это значит, что множество решений $S$ должно быть подмножеством $(-\infty, 0)$.

а) При $a < -17/16$, $S_2 = (-\infty, \infty)$ и $S=S_1$. Нужно, чтобы $S_1 \subset (-\infty, 0)$. Для этого правая граница $S_1$ должна быть меньше 0: $R = \min(2, 2a+6) < 0$. Это эквивалентно $2a+6 < 0 \implies a < -3$. С учетом области определения $a \in [-4, 4]$ и условия $a < -17/16$, получаем $a \in [-4, -3)$.

б) При $a \ge -17/16$, $S = S_1 \cap S_2$. Все решения будут отрицательными, если $S_2 \subset (-\infty, 0)$. Это условие выполняется, если правый корень $x_2 < 0$.$x_2 = \frac{-1+\sqrt{16a+17}}{4} < 0 \implies -1+\sqrt{16a+17} < 0 \implies \sqrt{16a+17} < 1$. Возводим в квадрат: $16a+17 < 1 \implies 16a < -16 \implies a < -1$. С учетом условия $a \ge -17/16$, получаем $a \in [-17/16, -1)$. При этих значениях $a$ все элементы $S_2$ отрицательны, следовательно, и все элементы $S=S_1 \cap S_2$ тоже отрицательны.

Объединяя оба случая, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in [-4, -3) \cup [-17/16, -1)$.

4) только положительные решения

Все решения $x$ должны удовлетворять условию $x > 0$. Это значит, что $S \subset (0, \infty)$.

а) При $a < -17/16$, $S=S_1$. Нужно, чтобы $S_1 \subset (0, \infty)$. Для этого левая граница $S_1$ должна быть больше 0: $L = \max(-2, 2a-6) > 0$. Это эквивалентно $2a-6 > 0 \implies a > 3$. Это противоречит условию $a < -17/16$, так что в этом случае решений нет.

б) При $a \ge -17/16$. Для положительности решений необходимо, чтобы $S$ не содержало отрицательных чисел и нуля.Корень $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{16a+17}}{4}$ всегда отрицателен при $a > -17/16$. Значит, чтобы в решении не было отрицательных чисел, нужно исключить пересечение $S_1$ с лучом $(-\infty, x_1]$. Это произойдет, если $L > x_1$. При $a \in [-17/16, 2)$, $L=-2$. $-2 > x_1 \implies -2 > \frac{-1-\sqrt{16a+17}}{4} \implies -8 > -1-\sqrt{16a+17} \implies 7 < \sqrt{16a+17} \implies 49 < 16a+17 \implies 32 < 16a \implies a > 2$. Противоречие с $a < 2$. При $a \in [2, 4]$, $L=2a-6$. Условие $L > x_1 \implies 2a-6 > \frac{-1-\sqrt{16a+17}}{4} \implies 8a-24 > -1-\sqrt{16a+17} \implies 8a-23 > -\sqrt{16a+17}$. Это неравенство эквивалентно $a^2-6a+8<0$ при $a<23/8$ и верно при $a \ge 23/8$. Решением будет $a \in (2, 4)$. При $a=2$ имеем $L=x_1=-2$, так что $x=-2$ является решением. Этот случай не подходит.При $a \in (2, 4]$, условие $L > x_1$ выполняется.Также нужно, чтобы решения были строго положительными. Левая граница множества решений $S$ есть $\max(L, x_2)$. Нужно $\max(L, x_2) > 0$.$L=2a-6 > 0 \implies a > 3$.$x_2 > 0 \implies a > -1$. Если $a \in (3, 4]$, то $L>0, x_2>0$, все решения положительны.Если $a \in (2, 3]$, то $L \le 0$, но $x_2 > 0$. Решениями будет отрезок $[\max(L, x_2), R] \cap [x_2, \infty) = [x_2, 2]$. Так как $x_2 > 0$, все решения положительны.Объединяя, получаем $a \in (2, 4]$. При $a=4$ решение $x=2$ положительно.

Ответ: $a \in (2, 4]$.

5) только решения, удовлетворяющие условию $|x| \ge 1$

Множество решений $S$ должно быть подмножеством $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$. Это эквивалентно $S \cap (-1, 1) = \emptyset$.

а) При $a < -17/16$, $S = S_1$. Требуется $S_1 \cap (-1, 1) = \emptyset$. Это значит, что либо $R \le -1$, либо $L \ge 1$.$R \le -1 \implies \min(2, 2a+6) \le -1 \implies 2a+6 \le -1 \implies a \le -3.5$. С учетом $a \in [-4, -17/16)$, получаем $a \in [-4, -3.5]$.$L \ge 1 \implies \max(-2, 2a-6) \ge 1 \implies 2a-6 \ge 1 \implies a \ge 3.5$. Решений в рассматриваемом диапазоне нет.

б) При $a \ge -17/16$, требуется $(S_1 \cap (-1, 1)) \cap S_2 = \emptyset$. Это возможно, если $S_1 \cap (-1, 1) \subset (x_1, x_2)$. При $a \in [-17/16, 2)$, $S_1=[-2,2]$. Тогда $S_1 \cap (-1,1) = (-1,1)$. Нужно $(-1, 1) \subset (x_1, x_2)$, что требует $x_1 \le -1$ и $x_2 \ge 1$.$x_1 \le -1 \implies \frac{-1-\sqrt{16a+17}}{4} \le -1 \implies \sqrt{16a+17} \ge 3 \implies 16a+17 \ge 9 \implies a \ge -1/2$.$x_2 \ge 1 \implies \frac{-1+\sqrt{16a+17}}{4} \ge 1 \implies \sqrt{16a+17} \ge 5 \implies 16a+17 \ge 25 \implies a \ge 1/2$. С учетом $a \in [-17/16, 2)$, получаем $a \in [1/2, 2)$. При $a \in [2, 4]$, $S_1=[2a-6, 2]$. Условие $x_2 \ge 1$ выполняется ($a \ge 1/2$). Условие $x_1 \le \max(-1, 2a-6)$ также выполняется для $a \in [2,4]$. Значит, подходят все $a \in [2, 4]$.

Объединяем все найденные значения $a$: $[-4, -3.5] \cup [1/2, 2) \cup [2, 4] = [-4, -3.5] \cup [1/2, 4]$.

Ответ: $a \in [-4, -3.5] \cup [1/2, 4]$.

6) множество решений, содержащих не более одного целого числа

а) При $a < -17/16$, $S=S_1$. При $a \in (-2, -17/16)$, $S_1=[-2, 2]$, содержит 5 целых чисел.При $a \in [-4, -2]$, $S_1=[-2, 2a+6]$. Одно целое число ($x=-2$) будет в том случае, если правая граница $2a+6$ будет меньше следующего целого числа $-1$.$2a+6 < -1 \implies 2a < -7 \implies a < -3.5$. При $a=-4$, $S_1=\{-2\}$, одно целое. При $a=-3.5$, $S_1=[-2,-1]$, два целых.Следовательно, подходит диапазон $a \in [-4, -3.5)$.

б) При $a \ge -17/16$. Множество $S_1$ содержит целые числа из $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Нужно, чтобы из них не более одного принадлежало $S_2$. Целое число $k$ принадлежит $S_2$ если $2k^2+k-2 \ge 2a \iff a \le k^2+k/2-1$.- $k=-2 \implies a \le 2$- $k=-1 \implies a \le -0.5$- $k=0 \implies a \le -1$- $k=1 \implies a \le 0.5$- $k=2 \implies a \le 4$Рассмотрим $a \in (2, 4]$. Из условий выше, в $S_2$ не могут входить целые $-2, -1, 0, 1$. Единственный возможный целый корень из этого набора - это $x=2$ (т.к. $a \le 4$). Других целых чисел в $S_1 = [2a-6, 2]$ нет (т.к. $2a-6 > -2$). Таким образом, при $a \in (2, 4]$ в $S$ есть ровно одно целое число $x=2$. При $a=2$, в $S_2$ входят $-2$ и $2$. В $S_1=[-2,2]$ входят оба. Два целых решения. Не подходит.При $a \le 2$ в $S_2$ попадает все больше целых чисел, поэтому количество целых решений будет расти.Объединяя случаи, получаем ответ.

Ответ: $a \in [-4, -3.5) \cup (2, 4]$.