Номер 16.18, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.18, страница 163.

Условие.

16.18. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) $\max \{2x, 1\} = x^2 + y^2;$

2) $\min \{y, 2y - 1\} = x^2.$

Решение.

1) Исходное уравнение $\max\{2x, 1\} = x^2 + y^2$ можно разбить на два случая, в зависимости от того, какое из выражений в фигурных скобках больше.

Случай 1: $2x \ge 1$, то есть $x \ge 1/2$.

В этом случае $\max\{2x, 1\} = 2x$, и уравнение принимает вид:

$2x = x^2 + y^2$

Преобразуем это уравнение, выделив полный квадрат для переменной $x$:

$x^2 - 2x + y^2 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + y^2 = 0$

$(x - 1)^2 + y^2 = 1$

Это уравнение окружности с центром в точке $(1, 0)$ и радиусом $R=1$. Из этой окружности мы должны выбрать только ту часть, для которой выполняется условие $x \ge 1/2$. Найдем точки пересечения окружности с прямой $x = 1/2$:

$(1/2 - 1)^2 + y^2 = 1 \implies (-1/2)^2 + y^2 = 1 \implies 1/4 + y^2 = 1 \implies y^2 = 3/4$, откуда $y = \pm \sqrt{3}/2$.

Таким образом, в этом случае решением является дуга окружности $(x-1)^2+y^2=1$, соединяющая точки $(1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $(1/2, \sqrt{3}/2)$ и проходящая через точку $(2,0)$.

Случай 2: $2x < 1$, то есть $x < 1/2$.

В этом случае $\max\{2x, 1\} = 1$, и уравнение принимает вид:

$1 = x^2 + y^2$

Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=1$. Из этой окружности мы должны выбрать ту часть, для которой выполняется условие $x < 1/2$. Точки пересечения с прямой $x=1/2$ те же: $(1/2, \pm \sqrt{3}/2)$.

Следовательно, в этом случае решением является дуга окружности $x^2+y^2=1$, соединяющая точки $(1/2, -\sqrt{3}/2)$ и $(1/2, \sqrt{3}/2)$ и проходящая через точку $(-1,0)$.

Искомое множество точек является объединением двух полученных дуг.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой фигуру, составленную из двух дуг окружностей: дуги окружности $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ для $x \ge 1/2$ и дуги окружности $x^2 + y^2 = 1$ для $x < 1/2$. Эти дуги гладко соединяются в точках $(1/2, \sqrt{3}/2)$ и $(1/2, -\sqrt{3}/2)$.

2) Исходное уравнение $\min\{y, 2y - 1\} = x^2$ также разбивается на два случая.

Сначала определим, при каких условиях $y \le 2y-1$. Это неравенство эквивалентно $1 \le y$.

Случай 1: $y \ge 1$.

В этом случае $\min\{y, 2y - 1\} = y$, и уравнение принимает вид:

$y = x^2$

Это уравнение параболы с вершиной в начале координат. Условие $y \ge 1$ означает, что мы берем только те части параболы, которые лежат на прямой $y=1$ или выше нее. Это соответствует двум ветвям параболы при $|x| \ge 1$. Граничные точки: $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $y < 1$.

В этом случае $\min\{y, 2y - 1\} = 2y - 1$, и уравнение принимает вид:

$2y - 1 = x^2$

Выразим $y$:

$y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$

Это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 1/2)$, ветви которой направлены вверх. Условие $y < 1$ означает, что мы берем часть этой параболы, расположенную ниже прямой $y=1$. Найдем точки пересечения с прямой $y=1$:

$1 = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2} \implies 1/2 = \frac{1}{2}x^2 \implies x^2 = 1$, откуда $x = \pm 1$.

Таким образом, решением является дуга параболы $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ между точками $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Искомое множество точек является объединением найденных частей двух парабол.

Ответ: Искомое множество точек — это кривая, состоящая из дуги параболы $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}$ при $|x| < 1$ и двух ветвей параболы $y = x^2$ при $|x| \ge 1$. Кривая непрерывна и проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 1/2)$ и $(1, 1)$.