Номер 16.12, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.12, страница 163.

Условие.

16.12. Изобразите график неравенства:

1) $(x+y-1)\sqrt{x^2+y^2-1} < 0;$

2) $(x+y-1)\sqrt{x^2+y^2-1} \ge 0.$

Решение.

1) Рассмотрим неравенство $(x + y - 1)\sqrt{x^2 + y^2 - 1} < 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 + y^2 \ge 1$. Это множество точек, лежащих на окружности с центром в начале координат и радиусом 1, а также вне этой окружности.

В области допустимых значений множитель $\sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ всегда неотрицателен. Чтобы произведение было строго отрицательным, необходимо, чтобы оба множителя были отличны от нуля, и один из них был отрицательным.

Поскольку $\sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ не может быть отрицательным, он должен быть строго положительным, а множитель $(x + y - 1)$ должен быть строго отрицательным. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x + y - 1 < 0 \\ \sqrt{x^2 + y^2 - 1} > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} y < -x + 1 \\ x^2 + y^2 - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y < -x + 1 \\ x^2 + y^2 > 1 \end{cases}$

Графиком первого неравенства является полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -x + 1$. Графиком второго неравенства является область, расположенная строго вне окружности с центром в точке (0, 0) и радиусом 1. Искомый график — это пересечение этих двух областей. Так как неравенства строгие, границы (прямая и окружность) не включаются в решение и изображаются пунктирной линией.

Ответ: Графиком неравенства является множество точек плоскости, лежащих ниже прямой $y=-x+1$ и одновременно строго вне окружности с центром в начале координат и радиусом 1. Границы не включаются.

2) Рассмотрим неравенство $(x + y - 1)\sqrt{x^2 + y^2 - 1} \ge 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) та же: $x^2 + y^2 - 1 \ge 0$, то есть $x^2 + y^2 \ge 1$.

Произведение неотрицательно, если один из множителей равен нулю или если оба множителя положительны. Так как $\sqrt{x^2 + y^2 - 1}$ не может быть отрицательным, рассмотрим два случая.

Случай 1: Произведение равно нулю.

Это происходит, если $\sqrt{x^2 + y^2 - 1} = 0$ или $x + y - 1 = 0$ (при условии выполнения ОДЗ).

Если $\sqrt{x^2 + y^2 - 1} = 0$, то $x^2 + y^2 - 1 = 0 \implies x^2 + y^2 = 1$. Все точки этой окружности являются решением, так как неравенство $0 \ge 0$ истинно.

Если $x + y - 1 = 0$, то есть $y = -x + 1$, то эти точки будут решением только если они удовлетворяют ОДЗ: $x^2 + y^2 \ge 1$. Это все точки прямой $y=-x+1$, которые лежат на или вне окружности $x^2 + y^2 = 1$.

Случай 2: Произведение строго положительно.

Это происходит, если оба множителя строго положительны:

$\begin{cases} x + y - 1 > 0 \\ \sqrt{x^2 + y^2 - 1} > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y > -x + 1 \\ x^2 + y^2 > 1 \end{cases}$

Это множество точек, находящихся одновременно выше прямой $y = -x + 1$ и вне окружности $x^2 + y^2 = 1$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем:
1. Все точки окружности $x^2 + y^2 = 1$.
2. Все точки, удовлетворяющие системе $\begin{cases} y \ge -x + 1 \\ x^2 + y^2 > 1 \end{cases}$ (объединение точек на прямой из случая 1 и области из случая 2).

Таким образом, искомое множество точек — это объединение всей окружности $x^2 + y^2 = 1$ и области, расположенной не ниже прямой $y = -x + 1$ и одновременно строго вне этой окружности. Границы (окружность и соответствующая часть прямой с полуплоскостью) включаются в решение и изображаются сплошной линией.

Ответ: Графиком неравенства является объединение окружности $x^2+y^2=1$ и множества точек, лежащих не ниже прямой $y=-x+1$ и одновременно строго вне указанной окружности. Границы включаются.