Номер 16.11, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.11, страница 163.

Условие.

16.11. Изобразите график неравенства:

1) $y > -\frac{1}{x}$; 2) $x \le -\frac{2}{y}$; 3) $\frac{6}{xy} \le -1$.

Решение.

1) $y > -\frac{1}{x}$

Чтобы изобразить график этого неравенства, сначала построим график соответствующего равенства, то есть функцию $y = -\frac{1}{x}$.

1. График функции $y = -\frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).
2. Поскольку неравенство строгое ($>$), саму гиперболу следует изобразить пунктирной линией. Это означает, что точки, лежащие на гиперболе, не являются решениями неравенства.
3. Область определения неравенства исключает значение $x=0$, так как на ноль делить нельзя. Таким образом, ось ординат ($y$-ось) не является частью решения.
4. Неравенство $y > -\frac{1}{x}$ означает, что для каждого значения $x$ (кроме $x=0$) нас интересуют точки, у которых координата $y$ больше, чем значение функции $-\frac{1}{x}$. Геометрически это соответствует области, расположенной выше графика функции $y = -\frac{1}{x}$.
5. Таким образом, искомый график состоит из двух заштрихованных областей:
- Вся область во второй координатной четверти, расположенная над ветвью гиперболы.
- Вся область в первой координатной четверти, а также та часть четвертой координатной четверти, которая расположена над ветвью гиперболы.

Ответ: Графиком неравенства является множество точек координатной плоскости, расположенных выше графика функции $y = -\frac{1}{x}$. Ветви гиперболы изображаются пунктирной линией.

2) $x \le -\frac{2}{y}$

Рассмотрим неравенство $x \le -\frac{2}{y}$. Границей искомой области является график уравнения $x = -\frac{2}{y}$, что эквивалентно $y = -\frac{2}{x}$.

1. График уравнения $y = -\frac{2}{x}$ — это гипербола с ветвями во второй и четвертой четвертях. Так как неравенство нестрогое ($\le$), ветви гиперболы являются частью решения и изображаются сплошной линией.
2. Область определения неравенства исключает значение $y=0$, то есть ось абсцисс ($x$-ось) не входит в решение.
3. Для решения неравенства рассмотрим два случая в зависимости от знака $y$.
- Случай 1: $y > 0$. В этом случае мы находимся в первой или второй четверти. Умножим обе части неравенства на $y$, знак неравенства не изменится: $xy \le -2$. Так как $y>0$, то $x$ должен быть отрицательным ($x \le -2/y < 0$), следовательно, мы находимся во второй четверти. Для любого $y_0 > 0$ решением является луч $x \le -2/y_0$. Это соответствует области, расположенной слева от ветви гиперболы во второй четверти.
- Случай 2: $y < 0$. В этом случае мы находимся в третьей или четвертой четверти. Умножим обе части неравенства на $y$, знак неравенства изменится на противоположный: $xy \ge -2$.
а) Если $x < 0$ (третья четверть), то произведение $xy$ всегда положительно, а значит, всегда больше или равно $-2$. Таким образом, вся третья координатная четверть (за исключением осей) является решением.
б) Если $x > 0$ (четвертая четверть), то для любого $y_0 < 0$ решением будет $x \le -2/y_0$. Так как $-2/y_0 > 0$, это соответствует области, расположенной между осью $y$ и ветвью гиперболы в четвертой четверти.

Ответ: Графиком неравенства является объединение трех областей: 1) вся третья координатная четверть; 2) область во второй четверти, расположенная слева от ветви гиперболы $y = -2/x$ (включая саму ветвь); 3) область в четвертой четверти, расположенная между осью $y$ и ветвью гиперболы $y = -2/x$ (включая саму ветвь). Ось $x$ ($y=0$) не входит в решение.

3) $\frac{6}{xy} \le -1$

Преобразуем данное неравенство. Область определения: $x \ne 0$ и $y \ne 0$.

1. Перенесем все в левую часть: $\frac{6}{xy} + 1 \le 0$.
2. Приведем к общему знаменателю: $\frac{6+xy}{xy} \le 0$.
3. Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки (или числитель равен нулю). Рассмотрим два случая.
- Случай 1: $6+xy \ge 0$ и $xy < 0$.
Первое условие: $xy \ge -6$. Второе условие ($xy < 0$) означает, что мы находимся во второй или четвертой координатных четвертях. Объединяя эти условия, мы ищем точки во второй и четвертой четвертях, для которых $-6 \le xy < 0$. Геометрически это область, расположенная между ветвями гиперболы $y = -6/x$ и осями координат.
- Случай 2: $6+xy \le 0$ и $xy > 0$.
Первое условие: $xy \le -6$. Второе условие ($xy > 0$) означает, что мы находимся в первой или третьей координатных четвертях. Однако в этих четвертях произведение $xy$ всегда положительно и не может быть меньше или равно $-6$. Следовательно, в этом случае решений нет.
4. Таким образом, решением является область, найденная в первом случае. Границей является гипербола $y = -6/x$. Поскольку исходное неравенство нестрогое, точки на гиперболе включаются в решение, и она изображается сплошной линией.

Ответ: Графиком неравенства является множество точек второй и четвертой координатных четвертей, расположенных между ветвями гиперболы $y = -6/x$ и осями координат. Сама гипербола включается в решение и изображается сплошной линией, а оси координат исключаются.