Номер 16.14, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.14, страница 163.

Условие.

16.14. Изобразите график неравенства $|x + y| + |x - y| \leq 2$.

Решение.

Для построения графика неравенства $|x + y| + |x - y| \le 2$ необходимо рассмотреть случаи, основанные на знаках выражений под модулем. Границы, где эти выражения меняют знак, — это прямые $x + y = 0$ (или $y = -x$) и $x - y = 0$ (или $y = x$). Эти прямые делят координатную плоскость на четыре области, в каждой из которых мы раскроем модули.

1. Область, где $x + y \ge 0$ и $x - y \ge 0$. Это соответствует сектору плоскости, заданному неравенствами $y \ge -x$ и $y \le x$. В этой области исходное неравенство принимает вид:
$(x + y) + (x - y) \le 2$
$2x \le 2$
$x \le 1$

2. Область, где $x + y \ge 0$ и $x - y < 0$. Это соответствует сектору плоскости, заданному неравенствами $y \ge -x$ и $y > x$. В этой области исходное неравенство принимает вид:
$(x + y) - (x - y) \le 2$
$2y \le 2$
$y \le 1$

3. Область, где $x + y < 0$ и $x - y < 0$. Это соответствует сектору плоскости, заданному неравенствами $y < -x$ и $y > x$. В этой области исходное неравенство принимает вид:
$-(x + y) - (x - y) \le 2$
$-x - y - x + y \le 2$
$-2x \le 2$
$x \ge -1$

4. Область, где $x + y < 0$ и $x - y \ge 0$. Это соответствует сектору плоскости, заданному неравенствами $y < -x$ и $y \le x$. В этой области исходное неравенство принимает вид:
$-(x + y) + (x - y) \le 2$
$-x - y + x - y \le 2$
$-2y \le 2$
$y \ge -1$

Теперь объединим полученные результаты. Решением является множество точек $(x, y)$, которые удовлетворяют ограничениям своей области и полученному в ней неравенству. Совокупность всех четырех решений дает нам область, ограниченную четырьмя неравенствами: $x \le 1$, $y \le 1$, $x \ge -1$ и $y \ge -1$. Эти неравенства можно записать в виде двойных: $-1 \le x \le 1$ и $-1 \le y \le 1$.

Данная система неравенств задает на координатной плоскости квадрат, центр которого находится в начале координат, а стороны параллельны осям координат и проходят через точки $x=1$, $x=-1$, $y=1$ и $y=-1$. Вершины этого квадрата находятся в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$. Поскольку исходное неравенство нестрогое ($\le$), граница квадрата также является частью решения.

Ответ: Графиком неравенства является квадрат, ограниченный прямыми $x=1$, $x=-1$, $y=1$ и $y=-1$. Вершины квадрата находятся в точках $(1, 1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$ и $(1, -1)$. Искомое множество точек включает как внутреннюю область этого квадрата, так и его границы.