Номер 16.9, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.9, страница 163.

Условие.

16.9. Изобразите график неравенства:

1) $|2x - y| \le 1;$

3) $|x + y| \ge x - y;$

2) $|2x - y| \le x + y;$

4) $\sqrt{x - 2y - 1} \le \sqrt{x - y}.$

Решение.

1) $|2x - y| \le 1$

Неравенство вида $|a| \le b$ (где $b > 0$) равносильно двойному неравенству $-b \le a \le b$.

Применительно к нашему случаю, получаем:

$-1 \le 2x - y \le 1$

Это двойное неравенство эквивалентно системе из двух линейных неравенств:

$\begin{cases} 2x - y \le 1 \\ 2x - y \ge -1 \end{cases}$

Выразим переменную $y$ в каждом из неравенств:

$\begin{cases} y \ge 2x - 1 \\ y \le 2x + 1 \end{cases}$

Первое неравенство, $y \ge 2x - 1$, задает полуплоскость, расположенную выше прямой $y = 2x - 1$, включая саму прямую.

Второе неравенство, $y \le 2x + 1$, задает полуплоскость, расположенную ниже прямой $y = 2x + 1$, включая саму прямую.

Решением системы является пересечение этих двух полуплоскостей. Графически это представляет собой полосу на координатной плоскости, заключенную между двумя параллельными прямыми $y = 2x - 1$ и $y = 2x + 1$.

Ответ: Полоса, заключенная между параллельными прямыми $y = 2x - 1$ и $y = 2x + 1$, включая сами прямые.

2) $|2x - y| \le x + y$

Данное неравенство равносильно системе неравенств. Во-первых, правая часть не может быть отрицательной, так как модуль всегда неотрицателен. Во-вторых, раскрываем модуль так же, как и в предыдущем задании.

$\begin{cases} x + y \ge 0 \\ -(x + y) \le 2x - y \le x + y \end{cases}$

Распишем второе двойное неравенство как систему из двух неравенств:

$\begin{cases} x + y \ge 0 \\ 2x - y \ge -(x + y) \\ 2x - y \le x + y \end{cases}$

Упростим второе и третье неравенства:

1. $2x - y \ge -x - y \implies 3x \ge 0 \implies x \ge 0$

2. $2x - y \le x + y \implies x \le 2y \implies y \ge \frac{1}{2}x$

Таким образом, исходная система принимает вид:

$\begin{cases} x + y \ge 0 \\ x \ge 0 \\ y \ge \frac{1}{2}x \end{cases}$

Проанализируем эту систему. Если $x \ge 0$ и $y \ge \frac{1}{2}x$, то $y$ также неотрицательно (так как $\frac{1}{2}x \ge 0$). Сумма двух неотрицательных чисел $x$ и $y$ всегда неотрицательна, то есть $x + y \ge 0$. Следовательно, первое неравенство $x + y \ge 0$ является следствием двух других и его можно опустить.

Итоговая система:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge \frac{1}{2}x \end{cases}$

Графиком этой системы является область, расположенная в правой полуплоскости ($x \ge 0$) и выше прямой $y = \frac{1}{2}x$ (включая границы). Это угловая область, ограниченная положительной частью оси $Oy$ и лучом $y = \frac{1}{2}x$, исходящим из начала координат в первую четверть.

Ответ: Угловая область, ограниченная лучами $x=0, y \ge 0$ (положительная полуось $Oy$) и $y = \frac{1}{2}x, x \ge 0$.

3) $|x + y| \ge x - y$

Неравенство вида $|a| \ge b$ равносильно совокупности двух неравенств: $a \ge b$ или $a \le -b$.

Применим это правило:

$x + y \ge x - y$ или $x + y \le -(x - y)$

Решим каждое неравенство отдельно:

1. $x + y \ge x - y \implies y \ge -y \implies 2y \ge 0 \implies y \ge 0$

2. $x + y \le -x + y \implies x \le -x \implies 2x \le 0 \implies x \le 0$

Решением исходного неравенства является объединение решений этих двух неравенств. То есть, множество всех точек $(x, y)$, для которых выполняется хотя бы одно из условий: $y \ge 0$ или $x \le 0$.

Условие $y \ge 0$ задает верхнюю полуплоскость, включая ось $Ox$.

Условие $x \le 0$ задает левую полуплоскость, включая ось $Oy$.

Объединение этих двух областей — это вся координатная плоскость, за исключением точек, у которых одновременно $x > 0$ и $y < 0$, то есть за исключением внутренней части четвертого координатного угла.

Ответ: Вся координатная плоскость, за исключением внутренней части четвертой четверти (квадранта).

4) $\sqrt{x - 2y - 1} \le \sqrt{x - y}$

Решение этого неравенства начнем с нахождения области допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными:

$\begin{cases} x - 2y - 1 \ge 0 \\ x - y \ge 0 \end{cases}$

Выразим $y$:

$\begin{cases} 2y \le x - 1 \implies y \le \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \\ y \le x \end{cases}$

Теперь решим само неравенство. Так как обе части неравенства неотрицательны (по определению арифметического квадратного корня), мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x - 2y - 1})^2 \le (\sqrt{x - y})^2$

$x - 2y - 1 \le x - y$

$-2y - 1 \le -y$

$-1 \le y$ или $y \ge -1$

Для нахождения итогового решения необходимо объединить все три условия в одну систему:

$\begin{cases} y \le \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \\ y \le x \\ y \ge -1 \end{cases}$

Графиком этой системы является пересечение трех полуплоскостей. Построим граничные прямые: $l_1: y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, $l_2: y = x$ и $l_3: y = -1$.

Найдем точку пересечения этих прямых:

$l_1 \cap l_2: \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = x \implies -\frac{1}{2} = \frac{1}{2}x \implies x = -1, y = -1$. Точка $(-1, -1)$.

Легко проверить, что все три прямые пересекаются в одной точке $(-1, -1)$.

Искомая область находится выше или на прямой $y=-1$, а также ниже или на прямых $y=x$ и $y=\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

При $x > -1$, прямая $y=x$ лежит выше прямой $y=\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, поэтому условие $y \le \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ является более строгим.

При $x < -1$, прямая $y=x$ лежит ниже прямой $y=\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$, поэтому условие $y \le x$ является более строгим.

Таким образом, искомая область представляет собой бесконечную угловую область с вершиной в точке $(-1, -1)$, ограниченную снизу горизонтальной прямой $y=-1$, а сверху — ломаной, состоящей из лучей $y=x$ (при $x \le -1$) и $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ (при $x \ge -1$).

Ответ: Бесконечная угловая область с вершиной в точке $(-1, -1)$, ограниченная снизу прямой $y=-1$ и сверху ломаной, образованной лучами $y = x$ для $x \le -1$ и $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$ для $x \ge -1$.