Номер 16.5, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.5, страница 159.

Условие.

16.5. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 1 \\ y \leq -|x| \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ xy \geq 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 \geq 9 \\ xy \leq 0 \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$x^2 + y^2 \ge 1$
$y \le -|x|$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 1$ описывает множество точек, расположенных на окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=1$, а также всех точек вне этой окружности.

Второе неравенство $y \le -|x|$ можно рассмотреть для двух случаев. Граница этой области задается уравнением $y = -|x|$.

• Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и неравенство принимает вид $y \le -x$. Это полуплоскость, расположенная на прямой $y = -x$ и ниже неё.
• Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и неравенство принимает вид $y \le -(-x)$, то есть $y \le x$. Это полуплоскость, расположенная на прямой $y = x$ и ниже неё.

Объединяя эти два случая, получаем, что множество решений второго неравенства — это область, расположенная под графиком функции $y = -|x|$ (который представляет собой "галочку", повернутую ветвями вниз с вершиной в точке (0,0)), включая сам график. Эта область целиком лежит в третьей и четвертой координатных четвертях.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств. Это точки, которые одновременно находятся вне (или на границе) единичной окружности и ниже (или на границе) графика $y = -|x|$.

Ответ: Искомое множество — это две неограниченные области в третьей и четвертой координатных четвертях, ограниченные сверху лучами $y=x$ (при $x \le 0$) и $y=-x$ (при $x \ge 0$), а снизу — дугой окружности $x^2+y^2=1$, расположенной в нижней полуплоскости. Границы, образованные лучами и дугой окружности, входят в множество решений.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$x^2 + y^2 \le 4$
$xy \ge 0$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \le 4$ описывает множество точек, расположенных внутри круга с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=2$, включая его границу (окружность).

Второе неравенство $xy \ge 0$ выполняется, когда произведения координат $x$ и $y$ неотрицательно. Это возможно в двух случаях:

• $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Это первая координатная четверть, включая положительные полуоси.
• $x \le 0$ и $y \le 0$. Это третья координатная четверть, включая отрицательные полуоси.

Таким образом, второе неравенство задает все точки первой и третьей координатных четвертей, включая обе координатные оси.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: та часть круга радиусом 2 с центром в начале координат, которая лежит в первой и третьей четвертях.

Ответ: Искомое множество — это два замкнутых сектора круга с центром в (0,0) и радиусом 2, расположенные в I и III координатных четвертях. Границы секторов (дуги окружности и отрезки осей координат от -2 до 2) входят в множество решений.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$x^2 + y^2 \ge 9$
$xy \le 0$

Первое неравенство $x^2 + y^2 \ge 9$ описывает множество точек, расположенных на окружности с центром в начале координат (0,0) и радиусом $R=3$, а также всех точек вне этой окружности.

Второе неравенство $xy \le 0$ выполняется, когда произведение координат $x$ и $y$ неположительно. Это возможно в двух случаях:

• $x \ge 0$ и $y \le 0$. Это четвертая координатная четверть, включая положительную полуось X и отрицательную полуось Y.
• $x \le 0$ и $y \ge 0$. Это вторая координатная четверть, включая отрицательную полуось X и положительную полуось Y.

Таким образом, второе неравенство задает все точки второй и четвертой координатных четвертей, включая обе координатные оси.

Решением системы является пересечение этих двух множеств: точки, которые одновременно находятся вне (или на границе) окружности радиусом 3 и во второй или четвертой координатных четвертях.

Ответ: Искомое множество — это часть второй и четвертой координатных четвертей (включая оси), которая лежит вне открытого круга с центром в (0,0) и радиусом 3. Границы (окружность и лучи осей) входят в множество решений.