Номер 16.7, страница 161 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.7, страница 161.

Условие.

16.7. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 16.9.

а

$\begin{cases} x+y > 1 \\ x \ge 0 \\ y \ge 0 \end{cases}$

б

$\begin{cases} 0 \le x \le 1 \\ 0 \le y \le 1 \end{cases}$

Рис. 16.9 (окончание на с. 162)

в

$\begin{cases} y \ge |x| \\ y \le 1 \end{cases}$

г

$|x| \le y \le 1$

д

$\begin{cases} y \ge -|x| \\ x^2+y^2 < 1 \end{cases}$

е

$\begin{cases} y \ge x^2 \\ 0 \le y \le 1 \end{cases}$

ж

$\begin{cases} x^2+y^2 \le 9 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$

Рис. 16.9 (окончание)

Решение.

а)

Фигура на рисунке представляет собой область, ограниченную двумя прямыми. Первая прямая (сплошная) проходит через точки (1, 0) и (0, 1). Ее уравнение $x + y = 1$. Закрашенная область находится выше этой прямой, поэтому для ее точек выполняется неравенство $x + y \ge 1$. Вторая прямая (пунктирная) является графиком функции $y = x$. Закрашенная область находится под этой прямой, поэтому для нее выполняется строгое неравенство $y < x$. Таким образом, фигура задается системой из двух неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x + y \ge 1, \\ y < x. \end{cases}$

б)

Фигура представляет собой прямоугольник, ограниченный вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = 2$ и горизонтальными прямыми $y = -1$ и $y = 0.5$. Закрашенная область находится между этими прямыми. Так как все границы сплошные, неравенства являются нестрогими. Это можно записать в виде системы двойных неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 2, \\ -1 \le y \le 0.5. \end{cases}$

в)

Фигура представляет собой треугольник, ограниченный сверху горизонтальной прямой $y = 1.5$, а снизу — графиком функции $y = |x|$. Область находится ниже прямой $y=1.5$, что соответствует неравенству $y \le 1.5$. Область находится выше графика $y=|x|$, что соответствует неравенству $y \ge |x|$. Все границы сплошные, поэтому неравенства нестрогие.

Ответ: $\begin{cases} y \le 1.5, \\ y \ge |x|. \end{cases}$

г)

Фигура ограничена снизу графиком функции $y = |x|$ и по бокам — вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 1$. Закрашенная область находится выше графика модуля, поэтому $y \ge |x|$. Область находится между вертикальными прямыми, поэтому $-1 \le x \le 1$. Все границы сплошные, поэтому неравенства нестрогие.

Ответ: $\begin{cases} y \ge |x|, \\ -1 \le x \le 1. \end{cases}$

д)

Фигура ограничена снизу сплошной линией, являющейся графиком функции $y = |x| - 1$, и сверху — пунктирной линией окружности с центром в начале координат и радиусом 1. Область находится выше графика модуля, поэтому $y \ge |x| - 1$. Область находится внутри окружности, уравнение которой $x^2 + y^2 = 1$. Так как граница-окружность пунктирная, неравенство строгое: $x^2 + y^2 < 1$.

Ответ: $\begin{cases} y \ge |x| - 1, \\ x^2 + y^2 < 1. \end{cases}$

е)

Фигура ограничена снизу параболой, а сверху и снизу отсечена двумя горизонтальными прямыми. Парабола имеет вершину в точке (0, -2) и проходит через точки (2, 0) и (-2, 0), ее уравнение $y = 0.5x^2 - 2$. Область находится выше параболы, поэтому $y \ge 0.5x^2 - 2$. Горизонтальные границы — это прямые $y = -1$ и $y = 0.5$. Область находится между ними, поэтому $-1 \le y \le 0.5$.

Ответ: $\begin{cases} y \ge 0.5x^2 - 2, \\ -1 \le y \le 0.5. \end{cases}$

ж)

Фигура представляет собой часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. Таким образом, все точки фигуры удовлетворяют неравенству $x^2 + y^2 \le 9$. Из этого круга вырезана горизонтальная полоса, ограниченная прямыми $y = -1$ и $y = 1.5$. Это значит, что для точек фигуры должно выполняться условие $y \le -1$ или $y \ge 1.5$. Это дизъюнктивное условие можно записать в виде одного неравенства $(y+1)(y-1.5) \ge 0$.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9, \\ (y+1)(y-1.5) \ge 0. \end{cases}$