Номер 16.6, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.6, страница 160.

Условие.

16.6. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 16.8.

а

$0 \le y \le \frac{1}{2}x$

б

$x \le y \le x+1$

в

$-1 \le x \le 1$

$0 \le y \le 2$

г

$x+y < 1$

$x > 0$

$y > 0$

д

$1 \le x^2+y^2 \le 9$

$y \le 0$

е

$1 \le x^2+y^2 < 9$

$y \ge 0$

Рис. 16.8 (окончание на с. 161)

ж

$x^2+y^2 \le 4$

$x+y \le 0$

и

$x^2+y^2 < 4$

$(x-3)^2+y^2 \le 4$

з

$-1 \le x \le 1$

$-1 \le y \le 1$

к

$x^2+y^2 \le 1$

$x \le 0$

$y \le 0$

Рис. 16.8 (окончание)

Решение.

а

Фигура представляет собой полуплоскость, ограниченную прямой линией. Линия сплошная, поэтому неравенство будет нестрогим. Найдем уравнение прямой. Она проходит через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$. Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Так как прямая проходит через начало координат, $b=0$. Подставим координаты второй точки: $1 = k \cdot 2$, откуда угловой коэффициент $k = \frac{1}{2}$. Уравнение прямой: $y = \frac{1}{2}x$. Заштрихованная область находится ниже прямой. Чтобы определить знак неравенства, возьмем любую точку из этой области, например, $(1, 0)$. Подставим ее координаты в неравенство $y \le \frac{1}{2}x$: $0 \le \frac{1}{2} \cdot 1$, что является верным. Следовательно, фигура задается неравенством $y \le \frac{1}{2}x$.

Ответ: $y \le \frac{1}{2}x$.

б

Фигура представляет собой полосу, заключенную между двумя параллельными прямыми. Обе линии сплошные, поэтому неравенства будут нестрогими. Найдем уравнение нижней прямой. Она проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 1)$, ее уравнение $y = x$. Найдем уравнение верхней прямой. Она проходит через точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$. Ее угловой коэффициент $k = \frac{1-0}{0-(-1)} = 1$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0, 1)$, поэтому $b=1$. Уравнение прямой: $y = x + 1$. Заштрихованная область находится между этими прямыми. Это означает, что для любой точки $(x, y)$ из этой области выполняются два условия: она находится выше или на нижней прямой ($y \ge x$) и ниже или на верхней прямой ($y \le x+1$). Объединяя эти условия, получаем систему неравенств.

Ответ: $\begin{cases} y \ge x \\ y \le x+1 \end{cases}$.

в

Фигура представляет собой квадрат с центром в начале координат. Вершины квадрата находятся в точках $(2, 2)$, $(-2, 2)$, $(-2, -2)$ и $(2, -2)$. Границы фигуры - это прямые $x = -2$, $x = 2$, $y = -2$ и $y = 2$. Все границы сплошные, поэтому неравенства нестрогие. Заштрихованная область находится внутри квадрата, поэтому координаты любой точки $(x, y)$ из этой области должны удовлетворять условиям: $-2 \le x \le 2$ и $-2 \le y \le 2$. Эти условия можно записать в виде системы из четырех неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x \ge -2 \\ x \le 2 \\ y \ge -2 \\ y \le 2 \end{cases}$ (или $\begin{cases} |x| \le 2 \\ |y| \le 2 \end{cases}$).

г

Фигура представляет собой треугольник в первом квадранте. Две стороны треугольника лежат на осях координат ($x=0$ и $y=0$), и они сплошные. Это задает неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Третья сторона - это часть прямой, проходящей через точки $(2, 0)$ и $(0, 2)$. Уравнение этой прямой: $\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1$, или $x + y = 2$. Эта линия пунктирная, значит, неравенство будет строгим. Заштрихованная область находится ниже этой прямой. Проверим с помощью точки $(0, 0)$: $0 + 0 < 2$. Неравенство верное. Таким образом, фигура задается системой из трех неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ x+y < 2 \end{cases}$.

д

Фигура представляет собой нижний полукруг. Это часть круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Уравнение окружности: $x^2 + y^2 = 3^2 = 9$. Так как заштрихована область внутри круга и его граница сплошная, то выполняется нестрогое неравенство $x^2 + y^2 \le 9$. Кроме того, фигура расположена в нижней полуплоскости, включая ось $x$. Это означает, что ординаты всех точек фигуры неположительны, то есть $y \le 0$.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 9 \\ y \le 0 \end{cases}$.

е

Фигура представляет собой кольцо (область между двумя концентрическими окружностями). Центр обеих окружностей находится в точке $(0, 0)$. Внутренняя окружность имеет радиус $r=1$ и ее граница сплошная. Заштрихованная область находится вне этого круга, поэтому $x^2 + y^2 \ge 1^2$, то есть $x^2 + y^2 \ge 1$. Внешняя окружность имеет радиус $R=3$ и ее граница пунктирная. Заштрихованная область находится внутри этого круга, поэтому $x^2 + y^2 < 3^2$, то есть $x^2 + y^2 < 9$. Объединив эти два условия, получаем систему.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \ge 1 \\ x^2 + y^2 < 9 \end{cases}$.

ж

Фигура является пересечением круга и полуплоскости. Круг с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Граница сплошная, заштрихована внутренняя часть, следовательно, $x^2 + y^2 \le 2^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 4$. Прямая проходит через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$. Ее уравнение $y = x + 2$. Заштрихованная область находится ниже этой прямой. Для проверки возьмем точку $(0, 0)$: $0 \le 0+2$, что верно. Так как линия сплошная, неравенство нестрогое: $y \le x + 2$. (Примечание: надпись на графике $x+y-2=0$ является, по-видимому, опечаткой, так как такая прямая проходит через точки $(2,0)$ и $(0,2)$).

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 4 \\ y \le x + 2 \end{cases}$.

з

Фигура представляет собой круг. Центр круга находится в точке $(0, 1)$, а радиус равен $R=1$. Уравнение окружности, ограничивающей круг: $(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1^2$, или $x^2 + (y-1)^2 = 1$. Так как граница сплошная и заштрихована внутренняя область, фигура задается нестрогим неравенством. Прямые $x=\pm 1$ и $y=0, y=2$ являются касательными к окружности и не ограничивают заштрихованную область дополнительно, так как условия $|x| \le 1$ и $0 \le y \le 2$ следуют из неравенства для круга.

Ответ: $x^2 + (y-1)^2 \le 1$.

и

Фигура является пересечением областей, ограниченных двумя окружностями. Первая область (с пунктирной границей) — это внутренность круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=2$. Так как граница пунктирная, область задается строгим неравенством $x^2 + y^2 < 4$. Вторая область (со сплошной границей) — это круг с центром в точке $(3, 0)$ и радиусом $R=2$. Так как граница сплошная, область задается нестрогим неравенством $(x-3)^2 + y^2 \le 4$. Заштрихованная фигура является общей частью (пересечением) этих двух областей.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 < 4 \\ (x-3)^2 + y^2 \le 4 \end{cases}$.

к

Фигура представляет собой часть круга, расположенную в третьей координатной четверти. Это часть круга с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $R=1$. Граница сплошная, поэтому выполняется неравенство $x^2 + y^2 \le 1$. Третья координатная четверть определяется условиями $x \le 0$ и $y \le 0$. Оси координат включены в область, так как границы на них сплошные. Таким образом, фигура задается системой из трех неравенств.

Ответ: $\begin{cases} x^2 + y^2 \le 1 \\ x \le 0 \\ y \le 0 \end{cases}$.