Номер 16.2, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.2, страница 159.

Условие.

16.2. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество решений системы неравенств:

1) $\begin{cases} x + 3y > 1, \\ x > 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + 3 \ge 2x, \\ 2x - y \ge -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 3x - y > 2, \\ 6x - 2y < 1. \end{cases}$

Решение.

1)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} x + 3y > 1, \\ x > 0. \end{cases} $
1. Первое неравенство $x + 3y > 1$. Границей этой области является прямая $x + 3y = 1$. Выразим $y$ через $x$: $3y = -x + 1$, откуда $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Так как неравенство строгое ($>$), прямую следует изобразить пунктирной линией. Чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является решением, возьмем пробную точку, не лежащую на прямой, например, начало координат $(0, 0)$. Подставляем в неравенство: $0 + 3 \cdot 0 > 1$, то есть $0 > 1$. Это неверно. Следовательно, решением является полуплоскость, которая не содержит точку $(0, 0)$, то есть область, расположенная "выше" прямой $y = -\frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$.
2. Второе неравенство $x > 0$. Границей этой области является прямая $x = 0$, то есть ось ординат ($Oy$). Так как неравенство строгое, эту линию также изображаем пунктиром. Неравенство $x > 0$ задает все точки, лежащие правее оси $Oy$.
3. Множество решений системы — это пересечение (общая часть) множеств решений каждого из неравенств. Это область на координатной плоскости, которая находится одновременно правее оси $Oy$ и выше прямой $x + 3y = 1$.

Ответ: Искомое множество решений - это открытая область, ограниченная пунктирными прямыми $x = 0$ (ось $Oy$) и $x + 3y = 1$, расположенная в правой полуплоскости ($x>0$) и выше прямой $x + 3y = 1$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} y + 3 \ge 2x, \\ 2x - y \ge -2. \end{cases} $
1. Преобразуем первое неравенство: $y \ge 2x - 3$. Граничная прямая — $y = 2x - 3$. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), прямая изображается сплошной линией. Решением является полуплоскость, расположенная выше этой прямой, включая и саму прямую. Проверка точкой $(0, 0)$: $0 \ge 2 \cdot 0 - 3$, то есть $0 \ge -3$. Верно.
2. Преобразуем второе неравенство: $2x - y \ge -2 \implies -y \ge -2x - 2 \implies y \le 2x + 2$. Граничная прямая — $y = 2x + 2$. Эта прямая также изображается сплошной линией. Решением является полуплоскость, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую. Проверка точкой $(0, 0)$: $0 \le 2 \cdot 0 + 2$, то есть $0 \le 2$. Верно.
3. Множество решений системы — это пересечение найденных областей. Прямые $y = 2x - 3$ и $y = 2x + 2$ имеют одинаковый угловой коэффициент $k=2$, следовательно, они параллельны. Решением системы является полоса, заключенная между этими двумя параллельными прямыми, включая сами прямые.

Ответ: Множество решений системы представляет собой замкнутую полосу, расположенную между параллельными прямыми $y = 2x - 3$ и $y = 2x + 2$, включая эти прямые.

3)

Рассмотрим систему неравенств:
$ \begin{cases} 3x - y > 2, \\ 6x - 2y < 1. \end{cases} $
1. Преобразуем первое неравенство: $3x - y > 2 \implies -y > -3x + 2 \implies y < 3x - 2$. Граничная прямая $y = 3x - 2$ изображается пунктирной линией. Решением является открытая полуплоскость ниже этой прямой.
2. Преобразуем второе неравенство: $6x - 2y < 1 \implies -2y < -6x + 1 \implies y > 3x - \frac{1}{2}$. Граничная прямая $y = 3x - \frac{1}{2}$ также изображается пунктирной линией. Решением является открытая полуплоскость выше этой прямой.
3. Решением системы является пересечение этих двух областей. Точки $(x, y)$ должны удовлетворять одновременно двум условиям: $y < 3x - 2$ и $y > 3x - \frac{1}{2}$. Это можно записать в виде двойного неравенства: $3x - \frac{1}{2} < y < 3x - 2$.
Однако, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $3x - 2 < 3x - \frac{1}{2}$, поскольку $-2 < -\frac{1}{2}$. Это означает, что не существует такого числа $y$, которое было бы одновременно больше, чем $3x - \frac{1}{2}$, и меньше, чем $3x - 2$. Таким образом, пересечение этих двух полуплоскостей пусто.

Ответ: Система неравенств не имеет решений. Множество решений является пустым.