Номер 15.16, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 15. Неравенства с двумя переменными - номер 15.16, страница 155.

Условие.

15.16. Найдите все значения параметра $a$, при которых множество решений неравенства $(x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0$ не содержит ни одного решения неравенства $x^2 \le 4$.

Решение.

Пусть $M_1$ — множество решений неравенства $(x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0$, а $M_2$ — множество решений неравенства $x^2 \le 4$.

Сначала найдем множество $M_2$:$x^2 \le 4 \Leftrightarrow -2 \le x \le 2$. Таким образом, $M_2 = [-2, 2]$.

По условию задачи, множество решений первого неравенства не должно содержать ни одного решения второго. Это означает, что для любого $x$ из отрезка $[-2, 2]$ неравенство $(x^2 - a)(a - 2x - 8) > 0$ неверно. Следовательно, для всех $x \in [-2, 2]$ должно выполняться противоположное неравенство:$(x^2 - a)(a - 2x - 8) \le 0$

Преобразуем это неравенство, вынеся $-1$ из второй скобки:$(x^2 - a)(-(2x + 8 - a)) \le 0$Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный:$(x^2 - a)(2x + 8 - a) \ge 0$

Таким образом, задача сводится к нахождению всех значений параметра $a$, при которых неравенство $(x^2 - a)(2x + 8 - a) \ge 0$ выполняется для всех $x \in [-2, 2]$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Случай $a < 0$
При $a < 0$ выражение $-a$ положительно, поэтому $x^2 - a$ всегда больше нуля, так как $x^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x^2 - a)(2x + 8 - a) \ge 0$ равносильно неравенству $2x + 8 - a \ge 0$. Функция $y(x) = 2x + 8 - a$ является линейной и возрастающей. Ее наименьшее значение на отрезке $[-2, 2]$ достигается при $x = -2$. Чтобы неравенство выполнялось для всех $x \in [-2, 2]$, оно должно выполняться в этой точке:$y(-2) = 2(-2) + 8 - a \ge 0$$4 - a \ge 0$$a \le 4$Так как мы рассматриваем случай $a < 0$, все эти значения удовлетворяют условию $a \le 4$. Следовательно, все $a \in (-\infty, 0)$ являются решениями.

2. Случай $a = 0$
При $a=0$ неравенство принимает вид:$x^2(2x + 8) \ge 0$Поскольку $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то для $x \ne 0$ это неравенство эквивалентно $2x + 8 \ge 0$, что дает $x \ge -4$. При $x=0$ неравенство $0 \ge 0$ также верно.Все $x$ из отрезка $[-2, 2]$ удовлетворяют условию $x \ge -4$, поэтому $a=0$ является решением.Объединяя с первым случаем, получаем, что все $a \in (-\infty, 0]$ являются решениями.

3. Случай $a > 0$
Для выполнения неравенства $(x^2 - a)(2x + 8 - a) \ge 0$ на всем отрезке $[-2, 2]$ необходимо, чтобы оно выполнялось на его концах.При $x = 2$:$(2^2 - a)(2 \cdot 2 + 8 - a) \ge 0$$(4 - a)(12 - a) \ge 0$Решая это неравенство методом интервалов, получаем $a \in (-\infty, 4] \cup [12, \infty)$. При $x = -2$:$((-2)^2 - a)(2(-2) + 8 - a) \ge 0$$(4 - a)(4 - a) = (4 - a)^2 \ge 0$Это неравенство выполняется при любых $a$. Учитывая, что мы рассматриваем $a > 0$, возможные решения лежат в объединении $(0, 4] \cup [12, \infty)$. Рассмотрим эти два промежутка.

Подслучай 3.1: $a \in (0, 4]$
Рассмотрим значение неравенства в точке $x=0$, которая принадлежит отрезку $[-2, 2]$:$(0^2 - a)(2 \cdot 0 + 8 - a) = (-a)(8 - a) = a(a-8) \ge 0$Так как $a > 0$, это требует выполнения $a - 8 \ge 0$, то есть $a \ge 8$. Однако мы рассматриваем промежуток $a \in (0, 4]$. Пересечение множеств $a \in (0, 4]$ и $a \ge 8$ пусто. Это означает, что для $a \in (0, 4]$ условие не выполняется как минимум для точки $x=0$. Значит, на этом промежутке решений нет.

Подслучай 3.2: $a \in [12, \infty)$
Рассмотрим корни выражения $(x^2 - a)(2x + 8 - a)$: это $x_1 = -\sqrt{a}$, $x_2 = \sqrt{a}$ и $x_3 = \frac{a-8}{2}$. При $a \ge 12$:$x_1 = -\sqrt{a} \le -\sqrt{12} < -2$.$x_2 = \sqrt{a} \ge \sqrt{12} > 2$.$x_3 = \frac{a-8}{2} \ge \frac{12-8}{2} = 2$. Все три корня лежат вне интервала $(-2, 2)$. Это означает, что выражение $(x^2 - a)(2x + 8 - a)$ сохраняет знак на всем интервале $(-2, 2)$. Чтобы найти этот знак, подставим $x=0$:$(0^2 - a)(0 + 8 - a) = (-a)(8-a) = a(a-8)$. При $a \ge 12$ оба множителя $a$ и $a-8$ положительны, значит, их произведение больше нуля.Таким образом, для всех $x \in (-2, 2)$ неравенство выполняется. На границах отрезка мы уже проверили, что оно также выполняется. Следовательно, все $a \in [12, \infty)$ являются решениями.

Объединяя все найденные решения, получаем: $a \in (-\infty, 0] \cup [12, \infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, 0] \cup [12, \infty)$