Номер 16.15, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.15, страница 163.

Условие.

16.15. Изобразите график неравенства $ |2x - y| + |x + y| \le 6. $

Решение.

Для построения графика неравенства $|2x - y| + |x + y| \le 6$ необходимо рассмотреть четыре случая, которые определяются знаками выражений под модулем. Границами, разделяющими плоскость на области, служат прямые, где подмодульные выражения равны нулю: $2x - y = 0$ (то есть $y=2x$) и $x+y=0$ (то есть $y=-x$).

1. Область, где $2x - y \ge 0$ и $x + y \ge 0$.

В этой области, определяемой условиями $y \le 2x$ и $y \ge -x$, неравенство принимает вид:

$(2x - y) + (x + y) \le 6$

$3x \le 6$

$x \le 2$

2. Область, где $2x - y \ge 0$ и $x + y < 0$.

В этой области, определяемой условиями $y \le 2x$ и $y < -x$, неравенство принимает вид:

$(2x - y) - (x + y) \le 6$

$x - 2y \le 6$

$y \ge \frac{1}{2}x - 3$

3. Область, где $2x - y < 0$ и $x + y < 0$.

В этой области, определяемой условиями $y > 2x$ и $y < -x$, неравенство принимает вид:

$-(2x - y) - (x + y) \le 6$

$-3x \le 6$

$x \ge -2$

4. Область, где $2x - y < 0$ и $x + y \ge 0$.

В этой области, определяемой условиями $y > 2x$ и $y \ge -x$, неравенство принимает вид:

$-(2x - y) + (x + y) \le 6$

$-x + 2y \le 6$

$y \le \frac{1}{2}x + 3$

Искомое множество точек является объединением решений во всех четырех областях. Оно ограничено четырьмя прямыми: $x = 2$, $y = \frac{1}{2}x - 3$, $x = -2$ и $y = \frac{1}{2}x + 3$.

Эти прямые образуют замкнутую фигуру. Найдем координаты ее вершин, решая системы уравнений для пар пересекающихся прямых:

- Пересечение $x = 2$ и $y = \frac{1}{2}x + 3$: $y = \frac{1}{2}(2)+3=4$. Вершина $A(2, 4)$.

- Пересечение $y = \frac{1}{2}x + 3$ и $x = -2$: $y = \frac{1}{2}(-2)+3=2$. Вершина $B(-2, 2)$.

- Пересечение $x = -2$ и $y = \frac{1}{2}x - 3$: $y = \frac{1}{2}(-2)-3=-4$. Вершина $C(-2, -4)$.

- Пересечение $y = \frac{1}{2}x - 3$ и $x = 2$: $y = \frac{1}{2}(2)-3=-2$. Вершина $D(2, -2)$.

Фигура, ограниченная этими вершинами, является параллелограммом, так как у нее есть две пары параллельных сторон (стороны AD и BC параллельны оси OY, а стороны AB и CD имеют одинаковый угловой коэффициент $1/2$). Графиком неравенства является этот параллелограмм и область внутри него.

Ответ: Графиком неравенства является параллелограмм (включая его внутреннюю область) с вершинами в точках $(2, 4)$, $(-2, 2)$, $(-2, -4)$ и $(2, -2)$.