Номер 16.19, страница 163 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.19, страница 163.

Условие.

16.19. Изобразите на координатной плоскости $xy$ множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

1) $\max \{x^2 + y^2 - 1, 3\} = x^2$;

2) $\min \{x^2, |x|\} = y$.

Решение.

1)

Данное уравнение $max\{x^2 + y^2 - 1, 3\} = x^2$ эквивалентно совокупности двух систем.

Определение функции $max\{a, b\}$:

• $max\{a, b\} = a$, если $a \ge b$
• $max\{a, b\} = b$, если $b \ge a$

Применим это к нашему уравнению. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x^2 + y^2 - 1 \ge 3$.

В этом случае $max\{x^2 + y^2 - 1, 3\} = x^2 + y^2 - 1$. Тогда исходное уравнение принимает вид:

$x^2 + y^2 - 1 = x^2$

$y^2 - 1 = 0 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$.

Эти решения должны удовлетворять условию случая: $x^2 + y^2 - 1 \ge 3$. Подставим $y^2 = 1$:

$x^2 + 1 - 1 \ge 3 \implies x^2 \ge 3$.

Это означает, что $x \le -\sqrt{3}$ или $x \ge \sqrt{3}$.

Таким образом, в первом случае мы получаем четыре луча: $y=1$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$ и $y=-1$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}, \infty)$.

Случай 2: $x^2 + y^2 - 1 < 3$.

В этом случае $max\{x^2 + y^2 - 1, 3\} = 3$. Тогда исходное уравнение принимает вид:

$3 = x^2 \implies x = \pm \sqrt{3}$.

Эти решения должны удовлетворять условию случая: $x^2 + y^2 - 1 < 3$. Подставим $x^2 = 3$:

$3 + y^2 - 1 < 3 \implies y^2 + 2 < 3 \implies y^2 < 1$.

Это означает, что $-1 < y < 1$.

Таким образом, во втором случае мы получаем два интервала на вертикальных прямых: $x=\sqrt{3}$ при $y \in (-1, 1)$ и $x=-\sqrt{3}$ при $y \in (-1, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, мы получаем искомое множество точек. Заметим, что конечные точки отрезков из второго случая $( \pm\sqrt{3}, \pm 1 )$ являются начальными точками лучей из первого случая.

Ответ: Искомое множество точек — это объединение двух вертикальных отрезков $x = \sqrt{3}$ и $x = -\sqrt{3}$ для $y \in [-1, 1]$, и четырех горизонтальных лучей: $y=1$ для $|x| \ge \sqrt{3}$ и $y=-1$ для $|x| \ge \sqrt{3}$. Геометрически это представляет собой границу объединения двух бесконечных в горизонтальном направлении полос $\{ (x,y) | |x| \ge \sqrt{3}, |y| \le 1 \}$.

2)

Рассмотрим уравнение $min\{x^2, |x|\} = y$.

Определение функции $min\{a, b\}$:

• $min\{a, b\} = a$, если $a \le b$
• $min\{a, b\} = b$, если $b \le a$

Для того чтобы определить, какое из выражений, $x^2$ или $|x|$, является меньшим, решим неравенство $x^2 \le |x|$.

Так как $|x|^2 = x^2$, неравенство можно переписать как $|x|^2 \le |x|$.

$|x|^2 - |x| \le 0 \implies |x|(|x| - 1) \le 0$.

Поскольку $|x| \ge 0$, это неравенство выполняется, когда $|x| - 1 \le 0$, то есть $|x| \le 1$.

Таким образом, $x^2 \le |x|$ при $-1 \le x \le 1$, и $x^2 > |x|$ при $|x| > 1$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $|x| \le 1$, то есть $-1 \le x \le 1$.

В этом случае $min\{x^2, |x|\} = x^2$. Исходное уравнение принимает вид:

$y = x^2$.

Это часть параболы $y=x^2$, ограниченная отрезком $x \in [-1, 1]$. Она проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Случай 2: $|x| > 1$, то есть $x < -1$ или $x > 1$.

В этом случае $min\{x^2, |x|\} = |x|$. Исходное уравнение принимает вид:

$y = |x|$.

Это соответствует двум лучам:

• $y = x$ при $x > 1$. Это луч, выходящий из точки $(1, 1)$.
• $y = -x$ при $x < -1$. Это луч, выходящий из точки $(-1, 1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем непрерывный график. Участок параболы из первого случая плавно переходит в два луча из второго случая в точках $(-1, 1)$ и $(1, 1)$.

Ответ: Искомое множество точек представляет собой график функции, состоящий из трех частей: луча прямой $y=-x$ при $x \le -1$, участка параболы $y=x^2$ при $-1 \le x \le 1$ и луча прямой $y=x$ при $x \ge 1$.