Номер 16.26, страница 164 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 16. Системы неравенств с двумя переменными - номер 16.26, страница 164.

Условие.

16.26. Найдите область определения функции $y = \frac{5}{\sqrt{4x - 12}} - \frac{7}{|x| - 4}$.

Решение.

Область определения функции – это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Данная функция $y = \frac{5}{\sqrt{4x - 12}} - \frac{7}{|x| - 4}$ состоит из двух слагаемых, поэтому для нахождения области определения необходимо, чтобы оба слагаемых были определены.

1. Рассмотрим первое слагаемое $\frac{5}{\sqrt{4x - 12}}$.

Ограничения для этого слагаемого связаны со знаменателем. Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $4x - 12 \ge 0$. Во-вторых, сам знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{4x - 12} \neq 0$.

Объединив эти два условия, получаем одно строгое неравенство: подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.

$4x - 12 > 0$

Решим это неравенство:

$4x > 12$

$x > 3$

2. Рассмотрим второе слагаемое $\frac{7}{|x| - 4}$.

Единственное ограничение для этой дроби заключается в том, что ее знаменатель не должен обращаться в нуль.

$|x| - 4 \neq 0$

Решим это:

$|x| \neq 4$

Это равносильно тому, что $x \neq 4$ и $x \neq -4$.

3. Теперь найдем общую область определения, которая является пересечением найденных условий. Необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \neq 4 \\ x \neq -4 \end{cases}$

Условие $x > 3$ уже исключает значение $x = -4$, так как любое число, большее 3, заведомо не равно -4. Поэтому система упрощается до двух условий:

$\begin{cases} x > 3 \\ x \neq 4 \end{cases}$

Это означает, что $x$ может быть любым числом, которое больше 3, но не равно 4. На числовой прямой это соответствует двум интервалам: от 3 до 4 и от 4 до $+\infty$.

Таким образом, область определения функции представляет собой объединение этих интервалов: $(3; 4) \cup (4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; 4) \cup (4; +\infty)$.