Номер 17.3, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.3, страница 168.

Условие.

17.3. Докажите неравенство:

1) $2a^2 - 8a + 16 > 0;$

2) $4b^2 + 4b + 3 > 0;$

3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0;$

4) $9x^2 - 6xy + 5y^2 \ge 0;$

5) $a(a - 3) > 5(a - 4).$

Решение.

1) $2a^2 - 8a + 16 > 0$

Для доказательства неравенства преобразуем его левую часть, выделив полный квадрат. Вынесем общий множитель 2 за скобки: $2(a^2 - 4a + 8)$. Представим выражение в скобках в виде полного квадрата и константы: $a^2 - 4a + 8 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + 8 = (a - 2)^2 - 4 + 8 = (a - 2)^2 + 4$. Таким образом, исходное выражение равно: $2((a - 2)^2 + 4) = 2(a - 2)^2 + 8$. Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $(a - 2)^2 \ge 0$. Следовательно, $2(a - 2)^2 \ge 0$. Прибавив к обеим частям 8, получим: $2(a - 2)^2 + 8 \ge 8$. Так как $8 > 0$, то и $2(a - 2)^2 + 8 > 0$ для любого значения $a$. Неравенство $2a^2 - 8a + 16 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

2) $4b^2 + 4b + 3 > 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат: $4b^2 + 4b + 3 = (2b)^2 + 2 \cdot 2b \cdot 1 + 1^2 - 1^2 + 3 = ((2b)^2 + 4b + 1) + 2 = (2b + 1)^2 + 2$. Выражение $(2b + 1)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно: $(2b + 1)^2 \ge 0$ для любого $b$. Прибавив к обеим частям этого неравенства 2, получим: $(2b + 1)^2 + 2 \ge 2$. Поскольку $2 > 0$, то и $(2b + 1)^2 + 2 > 0$ для любого значения $b$. Следовательно, неравенство $4b^2 + 4b + 3 > 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

3) $a^2 + ab + b^2 \ge 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $a$: $a^2 + ab + b^2 = (a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2) - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 - \frac{b^2}{4} + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$. Полученное выражение является суммой двух слагаемых: 1. $(a + \frac{b}{2})^2$ — квадрат действительного числа, следовательно, $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$. 2. $\frac{3}{4}b^2$ — произведение неотрицательного числа $b^2$ и положительного числа $\frac{3}{4}$, следовательно, $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Значит, $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$ для любых значений $a$ и $b$. Неравенство $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

4) $9x^2 - 6xy + 5y^2 \ge 0$

Преобразуем левую часть неравенства, выделив полный квадрат относительно переменной $x$: $9x^2 - 6xy + 5y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot y + y^2 - y^2 + 5y^2 = ((3x)^2 - 6xy + y^2) + 4y^2 = (3x - y)^2 + (2y)^2$. Полученное выражение является суммой двух квадратов: 1. $(3x - y)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. 2. $(2y)^2 \ge 0$, так как это квадрат действительного числа. Сумма двух неотрицательных слагаемых всегда неотрицательна. Следовательно, $(3x - y)^2 + (2y)^2 \ge 0$ для любых значений $x$ и $y$. Неравенство $9x^2 - 6xy + 5y^2 \ge 0$ доказано.

Ответ: Неравенство доказано.

5) $a(a - 3) > 5(a - 4)$

Для доказательства преобразуем неравенство. Раскроем скобки в обеих частях: $a^2 - 3a > 5a - 20$. Перенесем все слагаемые в левую часть: $a^2 - 3a - 5a + 20 > 0$. $a^2 - 8a + 20 > 0$. Теперь докажем полученное неравенство, выделив в левой части полный квадрат: $a^2 - 8a + 20 = (a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2) - 4^2 + 20 = (a - 4)^2 - 16 + 20 = (a - 4)^2 + 4$. Выражение $(a - 4)^2$ как квадрат действительного числа всегда неотрицательно: $(a - 4)^2 \ge 0$. Тогда $(a - 4)^2 + 4 \ge 4$. Поскольку $4 > 0$, то $(a - 4)^2 + 4 > 0$ для любого значения $a$. Следовательно, исходное неравенство $a(a - 3) > 5(a - 4)$ также верно.

Ответ: Неравенство доказано.