Номер 17.10, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.10, страница 169.

Условие.

17.10. Докажите неравенство:

1) $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$;

2) $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0$;

3) $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)$;

4) $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab$;

5) $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b + c)$.

Решение.

1) Для доказательства неравенства $a^2 + b^2 + 6a - 4b + 13 \ge 0$ преобразуем его левую часть, выделив полные квадраты. Сгруппируем слагаемые:
$(a^2 + 6a + 9) + (b^2 - 4b + 4) \ge 0$
Здесь мы представили $13$ как $9+4$.
Свернем полученные выражения в квадраты суммы и разности:
$(a+3)^2 + (b-2)^2 \ge 0$
Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(a+3)^2 \ge 0$ и $(b-2)^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. Следовательно, неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

2) Для доказательства неравенства $x^2 - 2x + y^2 + 10y + 28 > 0$ преобразуем левую часть, выделив полные квадраты:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 10y + 25) + 2 > 0$
Здесь мы представили $28$ как $1+25+2$.
$(x-1)^2 + (y+5)^2 + 2 > 0$
Сумма квадратов $(x-1)^2 + (y+5)^2$ всегда неотрицательна (больше или равна нулю). Если к неотрицательному числу прибавить 2, результат будет не меньше 2, а значит, строго больше 0. Следовательно, неравенство верно.
Ответ: Неравенство доказано.

3) Докажем неравенство $a^2 + b^2 + c^2 + 12 \ge 4(a + b + c)$. Перенесем все слагаемые в левую часть и преобразуем выражение:
$a^2 - 4a + b^2 - 4b + c^2 - 4c + 12 \ge 0$
Выделим полные квадраты, представив $12$ как $4+4+4$.
$(a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 4b + 4) + (c^2 - 4c + 4) \ge 0$
$(a-2)^2 + (b-2)^2 + (c-2)^2 \ge 0$
Сумма квадратов трех действительных чисел всегда неотрицательна. Следовательно, неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

4) Докажем неравенство $a^2b^2 + a^2 + b^2 + 1 \ge 4ab$. Перенесем $4ab$ в левую часть и сгруппируем слагаемые.
$a^2b^2 - 4ab + a^2 + b^2 + 1 \ge 0$
Представим $-4ab$ как $-2ab - 2ab$ и перегруппируем:
$(a^2b^2 - 2ab + 1) + (a^2 - 2ab + b^2) \ge 0$
Свернем каждую группу в полный квадрат:
$(ab-1)^2 + (a-b)^2 \ge 0$
Полученное выражение является суммой двух квадратов и, следовательно, всегда неотрицательно. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

5) Докажем неравенство $2a^2 + b^2 + c^2 \ge 2a(b+c)$. Перенесем все слагаемые в левую часть.
$2a^2 + b^2 + c^2 - 2ab - 2ac \ge 0$
Представим $2a^2$ как $a^2+a^2$ и сгруппируем слагаемые:
$(a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 - 2ac + c^2) \ge 0$
Свернем группы в полные квадраты:
$(a-b)^2 + (a-c)^2 \ge 0$
Это выражение является суммой двух квадратов и, следовательно, всегда неотрицательно. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.