Номер 17.14, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.14, страница 169.

Условие.

17.14. Докажите неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + b^3a$.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^4 + b^4 \ge a^3b + b^3a$ перенесем все члены в левую часть:

$a^4 + b^4 - a^3b - b^3a \ge 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(a^4 - a^3b) + (b^4 - b^3a) \ge 0$

$a^3(a - b) - b^3(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a^3 - b^3)(a - b) \ge 0$

Разложим разность кубов $a^3 - b^3$ по формуле $(a-b)(a^2+ab+b^2)$:

$(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a - b) \ge 0$

$(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$

Рассмотрим каждый множитель в левой части полученного неравенства:

1. Выражение $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому оно всегда неотрицательно, то есть $(a - b)^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$.

2. Выражение $a^2 + ab + b^2$ можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$a^2 + ab + b^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = (a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2$

Так как $(a + \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$, то их сумма также неотрицательна: $(a + \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Следовательно, $a^2 + ab + b^2 \ge 0$ при любых значениях $a$ и $b$ (равенство достигается только при $a=b=0$).

Поскольку оба множителя $(a - b)^2$ и $(a^2 + ab + b^2)$ неотрицательны, их произведение также неотрицательно. Таким образом, неравенство $(a - b)^2(a^2 + ab + b^2) \ge 0$ верно для любых $a$ и $b$.

Так как все преобразования были равносильными, то и исходное неравенство $a^4 + b^4 \ge a^3b + b^3a$ также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.