Номер 17.17, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.17, страница 169.

Условие.

17.17. Докажите, что:

1) если $x \le 1$ и $y \le 1$, то $xy + 1 \ge x + y$;

2) если $x \ge 1$ и $y \ge 1$, то $xy + 1 \ge x + y$.

Решение.

1) Для доказательства неравенства $xy + 1 \ge x + y$ выполним равносильные преобразования. Перенесем все члены в левую часть:

$xy - x - y + 1 \ge 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$x(y - 1) - (y - 1) \ge 0$

$(x - 1)(y - 1) \ge 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство, используя заданные условия $x \le 1$ и $y \le 1$.

Из условия $x \le 1$ следует, что множитель $(x - 1)$ является неположительным, то есть $x - 1 \le 0$.

Из условия $y \le 1$ следует, что множитель $(y - 1)$ также является неположительным, то есть $y - 1 \le 0$.

Произведение двух неположительных чисел всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$ верно.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство $xy + 1 \ge x + y$ также верно.

Ответ: Доказано.

2) Доказательство для этого случая аналогично предыдущему. Преобразуем исходное неравенство $xy + 1 \ge x + y$ к виду:

$(x - 1)(y - 1) \ge 0$

Теперь проанализируем это неравенство, используя заданные условия $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Из условия $x \ge 1$ следует, что множитель $(x - 1)$ является неотрицательным, то есть $x - 1 \ge 0$.

Из условия $y \ge 1$ следует, что множитель $(y - 1)$ также является неотрицательным, то есть $y - 1 \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных чисел всегда является неотрицательным числом. Следовательно, неравенство $(x - 1)(y - 1) \ge 0$ верно.

А значит, и равносильное ему исходное неравенство $xy + 1 \ge x + y$ также верно.

Ответ: Доказано.