Номер 17.13, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.13, страница 169.

Условие.

17.13. Докажите, что если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $a^3 + b^3 \ge a^2b + b^2a$.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^3 + b^3 \ge a^2b + b^2a$ при условии, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, выполним равносильные преобразования.

Перенесём все члены неравенства из правой части в левую:

$a^3 + b^3 - a^2b - b^2a \ge 0$

Сгруппируем слагаемые для дальнейшего разложения на множители:

$(a^3 - a^2b) + (b^3 - ab^2) \ge 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$a^2(a - b) + b^2(b - a) \ge 0$

Так как $(b - a) = -(a - b)$, перепишем неравенство в виде:

$a^2(a - b) - b^2(a - b) \ge 0$

Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки:

$(a^2 - b^2)(a - b) \ge 0$

Разложим выражение $(a^2 - b^2)$ по формуле разности квадратов, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(a - b)(a + b)(a - b) \ge 0$

В результате получаем:

$(a - b)^2(a + b) \ge 0$

Теперь проанализируем полученное неравенство. Множитель $(a - b)^2$ является квадратом действительного числа, поэтому он всегда неотрицателен, то есть $(a - b)^2 \ge 0$ для любых $a$ и $b$. По условию $a \ge 0$ и $b \ge 0$, значит, их сумма $(a + b)$ также неотрицательна: $(a + b) \ge 0$.

Произведение двух неотрицательных множителей ($(a - b)^2$ и $(a + b)$) всегда неотрицательно. Следовательно, неравенство $(a - b)^2(a + b) \ge 0$ является верным при заданных условиях.

Поскольку мы выполняли только равносильные преобразования, исходное неравенство $a^3 + b^3 \ge a^2b + b^2a$ также верно. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.