Номер 17.18, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.18, страница 169.

Условие.

17.18. Докажите, что:

1) $\frac{a^2}{b} \ge 2a - b$, где $b > 0$;

2) $\frac{a^3}{b^2} \ge 3a - 2b$, где $a > 0$, $b > 0$.

Решение.

1)

Для доказательства неравенства $\frac{a^2}{b} \ge 2a - b$ при $b > 0$, преобразуем его. Перенесём все члены в левую часть, чтобы доказать, что полученное выражение неотрицательно:

$\frac{a^2}{b} - (2a - b) \ge 0$

$\frac{a^2}{b} - 2a + b \ge 0$

Приведем левую часть к общему знаменателю $b$:

$\frac{a^2 - 2ab + b^2}{b} \ge 0$

Числитель дроби представляет собой полный квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Подставим это выражение в неравенство:

$\frac{(a-b)^2}{b} \ge 0$

Это неравенство является верным для любых действительных чисел $a$ и $b>0$, так как:

• Квадрат любого действительного числа $(a-b)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(a-b)^2 \ge 0$.
• Знаменатель $b$ по условию положителен, то есть $b > 0$.

Частное от деления неотрицательного числа на положительное число всегда неотрицательно.

Поскольку все преобразования были равносильными, исходное неравенство также верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

2)

Для доказательства неравенства $\frac{a^3}{b^2} \ge 3a - 2b$ при $a > 0, b > 0$, перепишем его в следующем виде:

$\frac{a^3}{b^2} + 2b \ge 3a$

Поскольку по условию $a > 0$ и $b > 0$, то числа $\frac{a^3}{b^2}$ и $b$ являются положительными. Мы можем применить неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши) для трёх положительных чисел: $\frac{a^3}{b^2}$, $b$ и $b$.

Среднее арифметическое этих чисел: $\frac{\frac{a^3}{b^2} + b + b}{3}$.

Среднее геометрическое этих чисел: $\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^2} \cdot b \cdot b}$.

Согласно неравенству Коши, среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

$\frac{\frac{a^3}{b^2} + b + b}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a^3}{b^2} \cdot b \cdot b}$

Упростим левую и правую части неравенства:

$\frac{\frac{a^3}{b^2} + 2b}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a^3 b^2}{b^2}}$

$\frac{\frac{a^3}{b^2} + 2b}{3} \ge \sqrt[3]{a^3}$

$\frac{\frac{a^3}{b^2} + 2b}{3} \ge a$

Теперь умножим обе части неравенства на 3 (так как 3 > 0, знак неравенства не изменится):

$\frac{a^3}{b^2} + 2b \ge 3a$

Мы получили неравенство, равносильное исходному. Следовательно, исходное неравенство доказано.

Ответ: Неравенство доказано.