Номер 17.20, страница 169 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 3. Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств. Параграф 17. Основные методы доказательства неравенств - номер 17.20, страница 169.

Условие.

17.20. Докажите неравенство $a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a$, где $n$ — нечётное натуральное число.

Решение.

Для доказательства неравенства $a^{n+1} + b^{n+1} \geq a^n b + b^n a$ преобразуем его, перенеся все члены в левую часть:

$a^{n+1} + b^{n+1} - a^n b - b^n a \geq 0$

Теперь сгруппируем слагаемые и разложим левую часть на множители:

$(a^{n+1} - a^n b) - (b^n a - b^{n+1}) \geq 0$

$a^n(a - b) - b^n(a - b) \geq 0$

$(a^n - b^n)(a - b) \geq 0$

Теперь нам нужно доказать справедливость этого неравенства, учитывая, что $n$ — нечётное натуральное число.

Рассмотрим знаки множителей $(a^n - b^n)$ и $(a - b)$ в различных случаях.

1. Случай, когда $a > b$.

В этом случае множитель $(a - b)$ положителен: $a - b > 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^n$. Поскольку $n$ — нечётное натуральное число, эта функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Это означает, что если $x_1 > x_2$, то $x_1^n > x_2^n$.

Так как $a > b$, то и $a^n > b^n$, следовательно, множитель $(a^n - b^n)$ также положителен: $a^n - b^n > 0$.

Произведение двух положительных чисел положительно: $(a^n - b^n)(a - b) > 0$. Неравенство выполняется.

2. Случай, когда $a < b$.

В этом случае множитель $(a - b)$ отрицателен: $a - b < 0$.

Поскольку функция $f(x) = x^n$ с нечётным $n$ является строго возрастающей, из $a < b$ следует, что $a^n < b^n$. Тогда множитель $(a^n - b^n)$ также отрицателен: $a^n - b^n < 0$.

Произведение двух отрицательных чисел положительно: $(a^n - b^n)(a - b) > 0$. Неравенство выполняется.

3. Случай, когда $a = b$.

В этом случае оба множителя равны нулю: $a - b = 0$ и $a^n - b^n = 0$.

Их произведение равно нулю: $(a^n - b^n)(a - b) = 0$. Неравенство $0 \geq 0$ выполняется.

Таким образом, мы показали, что во всех возможных случаях выражение $(a^n - b^n)(a - b)$ является неотрицательным. Так как это выражение эквивалентно исходному неравенству, то и исходное неравенство справедливо для любого нечётного натурального $n$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано путем его преобразования к виду $(a^n - b^n)(a - b) \geq 0$ и анализа знаков сомножителей, который показывает, что они всегда имеют одинаковый знак, поскольку функция $y=x^n$ для нечетного $n$ является возрастающей.